必修第一册第二章等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用随堂练习题

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这是一份必修第一册第二章等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用随堂练习题，共5页。试卷主要包含了下列不等式一定成立的是，求函数y=x的最大值，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

合格考达标练
1.已知0
A.13B.12C.14D.23
答案B
解析∵00.∴x(1-x)≤x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.
2.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)已知a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有( )
A.a+b有最大值22+2
B.a+b有最小值22+2
C.ab有最大值2+1
D.ab有最小值22+3
答案BD
解析令a+b=s,ab=t,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式得s≥2t,则t-1≥2t,由t>1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+22,当且仅当a=b=2+1时,等号成立;s≥2s+1,由s>2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+22,当且仅当a=b=2+1时,等号成立.故选BD.
3.已知a,b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,则x,y的关系是( )
A.x>yB.xC.x>2yD.y<2x
答案B
解析x2=a+b+2ab2<2(a+b)2=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,∴x4.(多选题)下列不等式一定成立的是( )
A.x2+14>x(x>0)B.x+1x≥2(x>0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)
答案BC
解析A中,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;B中,当x>0时,不等式x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;C中,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;D中,因为x2+1≥1,所以0<1x2+1≤1,所以D不成立.
5.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x<3,则函数f(x)=4x-3+x的最大值是 .
答案-1
解析因为x<3,所以f(x)=3-(3-x)+43-x≤3-2(3-x)×43-x=3-4=-1.当且仅当3-x=43-x,即x=1时等号成立.故函数f(x)的最大值是-1.
6.已知x>0,y>0,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为 ,取得最大值时y的值为 .
答案3 2
解析因为x>0,y>0且1=x3+y4≥2xy12,所以xy≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时取等号.
7.求函数y=(x+4)(x+9)x(x<0)的最大值.
解y=(x+4)(x+9)x=x+36x+13,当x<0时,-x>0,-36x>0,(-x)+-36x≥2(-x)-36x=12.
所以y=13-(-x)+-36x≤13-12=1.
当且仅当-x=-36x,即x=-6,等号成立,
所以当x=-6时,ymax=13-12=1.
等级考提升练
8.(多选题)下列说法正确的是( )

A.x+1x的最小值为2
B.x2+1的最小值为1
C.3x(2-x)的最大值为2
D.x2+7x2+2的最小值为27-2
答案BD
解析当x<0时,x+1x<0,故选项A错误;∵x2≥0恒成立,∴x2+1≥1,故选项B正确;∵3x(2-x)=-3(x-1)2+3≤3,当x=1时取等号,∴3x(2-x)的最大值为3,故选项C错误;∵x2+7x2+2=(x2+2)+7x2+2-2≥2(x2+2)×7x2+2-2=27-2,当且仅当x2+2=7x2+2时,等号成立,故选项D正确.故选BD.
9.已知当x=a时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=( )
A.-3B.2C.3D.8
答案C
解析y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2(x+1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.
10.已知a>b>c,则(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是 .
答案(a-b)(b-c)≤a-c2
解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,
∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c).
当且仅当b=a+c2时取等号.
11.若正数a,b,c满足1a+4b+9c≤36a+b+c,则2b+3ca+b+c= .
答案136
解析由1a+4b+9c≤36a+b+c,得1a+4b+9c(a+b+c)≤36,即1+ba+ca+4+4ab+4cb+9+9ac+9bc≤36,
即ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc≤22.
又因为ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=ba+4ab+4cb+9bc+ca+9ac≥22,当且仅当b=2a,c=3a时取等号.所以ba+ca+4ab+4cb+9ac+9bc=22,得b=2a,c=3a.所以2b+3ca+b+c=4a+9aa+2a+3a=136.
12.已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.
解∵(x+y)1x+ay=1+a+yx+axy,
又x>0,y>0,a>0,
∴yx+axy≥2yx·axy=2a,
∴1+a+yx+axy≥1+a+2a,
∴要使(x+y)1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2a≥9恒成立即可.
∴(a+1)2≥9,即a+1≥3,∴a≥4,∴正实数a的最小值为4.
新情境创新练
13.若a>0,b>0,且(a+b)ab=1.
(1)求ab的最大值;
(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.
解(1)∵(a+b)ab=1,∴(a+b)=1ab.
∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab,当且仅当a=b时取等号,
∴1ab≥2ab,∴ab≤12.
当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为12.
(2)不存在.理由如下,
∵a>0,b>0,∴12a+13b≥212a·13b=26ab≥233,当且仅当a=b时,等号成立.
∵63<233,∴不存在a,b使得12a+13b的值为63.

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