北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试课时作业

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试课时作业，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于( )
A．20 B．15 C．10 D．5
3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,3) D．eq \f(3,10)
4．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于( )
A．3 cm B．4 cm C．2.5 cm D．2 cm
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为( )
A．3 B．2eq \r(2) C.eq \r(6) D．3eq \r(3)
6．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A．菱形
B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形
D．对角线相等的四边形
7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
A．15°或30° B．30°或45°
C．45°或60° D．30°或60°
8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于( )
A．75°
B．45°
C．60°
D．30°
9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )
A．AF＝AE
B．△ABE≌△AGF
C．EF＝2eq \r(5)
D．AF＝EF
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．
12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为________．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．
14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．
15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，eq \r(3))，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019 s时，点P的坐标为________．
16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG＋FH＝________.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC.已知AC＝5，OC＝6eq \r(2)，则另一直角边BC的长为________．
三、解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)
19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.
求证：DE＝DF.
20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形．
(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE.
(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.
(1)求证：△DCE≌△BFE.
(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．
23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图①；
(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．
答案
一、1．D 2．B 3．B
4．A 点拨：∵菱形ABCD的周长为24 cm，
∴AB＝24÷4＝6 (cm)，OB＝OD.
又∵E为AD边的中点，
∴OE是△ABD的中位线．
∴OE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×6＝3 (cm)．
故选A.
5．D 6．D 7．D 8．C
9．D 点拨：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.
∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.
∴AE＝AF.故选项A正确．
由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.
∵AB＝CD，∴AB＝AG.
又∵AE＝AF，∠B＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．
故选项B正确．
设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.
又∵AG＝AB＝4，
∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.
解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.
则AE＝AF＝5，
∴BE＝eq \r(AE2－AB2)＝eq \r(52－42)＝3.
过点F作FM⊥BC于点M，则FM＝4，EM＝5－3＝2.
在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝eq \r(EM2＋FM2)＝eq \r(22＋42)＝eq \r(20)＝2eq \r(5)，则选项C正确．
∵AF＝5，EF＝2eq \r(5)，∴AF≠EF.故选项D错误．
10．C 点拨：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°.
∴∠BAE＋∠DAF＝30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
∴BE＝DF(故①正确)，
∠BAE＝∠DAF.
∴∠DAF＋∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°(故②正确)．
∵BC＝CD，
∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF，
又∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF(故③正确)．
设EC＝x，由勾股定理，得EF＝AE＝eq \r(2)x，∴EG＝CG＝eq \f(\r(2),2)x.
∴AG＝eq \f(\r(6),2)x.
∴AC＝eq \f(\r(6)x＋\r(2)x,2).
∴AB＝BC＝eq \f(\r(3)x＋x,2).
∴BE＝eq \f(\r(3)x＋x,2)－x＝eq \f(\r(3)x－x,2).∴BE＋DF＝eq \r(3)x－x≠eq \r(2)x(故④错误)．
易知S△CEF＝eq \f(x2,2)，S△ABE＝eq \f(\f(\r(3)x－x,2)·\f(\r(3)x＋x,2),2)＝eq \f(x2,4)，
∴2S△ABE＝eq \f(x2,2)＝S△CEF(故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．
二、11．90° 12．16 13．2.5
14．2eq \r(13) 点拨：设正方形的边长为a，∵S△ABE＝18，
∴S正方形ABCD＝2S△ABE＝36，
∴a2＝36.∵a＞0，∴a＝6.
在Rt△BCE中，
∵BC＝6，CE＝4，∠C＝90°，
∴BE＝eq \r(BC2＋CE2)＝eq \r(62＋42)＝2eq \r(13).
15．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4)))
16．16 点拨：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°.又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，∴BF＝DF＝EF＝4，∴CF＝4－BC＝4－y.在Rt△DCF中，DC2＋CF2＝DF2，即x2＋(4－y)2＝42＝16.∴x2＋(y－4)2＝16.
17．eq \f(3\r(10),5) 点拨：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，∠A＝∠D＝90°.
∵点E为AD的中点，∴AE＝DE＝1，
∴BE＝eq \r(AE2＋AB2)＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，CE＝eq \r(DE2＋DC2)＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，
∴CE＝BE.
∵S△BCE＝S△BEF＋S△CEF，
∴eq \f(1,2)BC·AB＝eq \f(1,2)BE·FG＋eq \f(1,2)CE·FH，∴BC·AB＝BE(FG＋FH)，即2×3＝eq \r(10)(FG＋FH)，解得FG＋FH＝eq \f(3\r(10),5).
18．7 点拨：如图，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，过点O作ON⊥BC于点N，易证△OMA≌△ONB，CN＝OM，∴OM＝ON，MA＝NB.
又∵∠ACB＝90°，∠OMA＝∠ONB＝90°，OM＝ON，
∴四边形OMCN是正方形．
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC＝6eq \r(2)，∴CM＝OM＝6.
∴MA＝CM－AC＝6－5＝1.
∴BC＝CN＋NB＝OM＋MA＝6＋1＝7. 故答案为7.
三、19．证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.
20．(1)证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
(2)解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，∴OC＝eq \f(1,2)AC＝2，
∴OD＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，
∴矩形OCED的面积是2eq \r(3)×2＝4eq \r(3).
21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD.
又∵BE∥AC，E在DC的延长线上．
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，∴BD＝BE.
(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝90°.
在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8.∵BE＝BD，∴CD＝CE＝6，
∴DE＝12.
∵OD＝OC，∴CF＝DF，
又OB＝OD，
∴OF为△BCD的中位线，
∴OF＝eq \f(1,2)BC＝4，
∴S△ODE＝eq \f(1,2)DE·OF＝eq \f(1,2)×12×4＝24.
22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC.
根据折叠的性质得∠ADB＝∠FDB，∠F＝∠A＝90°，
∴∠DBC＝∠FDB，∠C＝∠F.
∴BE＝DE.
在△DCE和△BFE中，
∴△DCE≌△BFE.
(2)解：在Rt△BCD中，
∵CD＝2，∠DBC＝∠ADB＝30°，
∴BD＝4.∴BC＝2eq \r(3).
在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.
∴DE＝2EC.
∴(2EC)2－EC2＝CD2.
又∵CD＝2，∴CE＝eq \f(2\r(3),3).
∴BE＝BC－EC＝eq \f(4\r(3),3).
23．(1)证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABE＝∠ACF＝60°，
∠1＋∠2＝60°.
∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，
∴∠1＝∠3.
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝AC.∴△ABE≌△ACF.
∴BE＝CF.
(2)解：四边形AECF的面积不变．
由(1)知△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC.
如图，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，
∴AM＝eq \r(AB2－BM2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AM＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)＝4eq \r(3).故S四边形AECF＝4eq \r(3).
24．解：(1)如图①.
(2)如图②，连接AE，∵点E是点B关于直线AP的对称点，
∴∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝AB＝AD，∠BAD＝90°.
∴∠AED＝∠ADE，∠EAD＝∠DAB＋∠BAP＋∠PAE＝130°.
∴∠ADF＝eq \f(180°－130°,2)＝25°.
(3)EF2＋FD2＝2AB2.
证明如下：如图③，连接AE，BF，BD，由轴对称和正方形的性质可得，EF＝BF，AE＝AB＝AD，易得∠ABF＝∠AEF＝∠ADF.∵∠BAD＝90°，
∴∠ABF＋∠FBD＋∠ADB＝90°.
∴∠ADF＋∠ADB＋∠FBD＝90°.
∴∠BFD＝90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得BF2＋FD2＝BD2.
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝2AB2，
∴EF2＋FD2＝2AB2.