初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试课后测评

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试课后测评，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷
一、选择题
1.已知四边形 ABCD 是平行四边形， AC ， BD 相交于点O，下列结论错误的是（   ）
A. OA=OC ， OB=OD
B. 当 AB=CD 时，四边形 ABCD 是菱形
C. 当 ∠ABC=90° 时，四边形 ABCD 是矩形
D. 当 AC=BD 且 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形
2.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于 12 AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（  ）

A. AB平分∠CAD                       B. CD平分∠ACB                       C. AB⊥CD                       D. AB=CD
3.小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示，并测得∠ABC＝60°，接着活动学具成为图2所示，并测得∠ABC＝90°，若图2对角线BD＝20cm，则图1中对角线BD的长为（   ）

A. 10cm                           B. 10 2 cm                           C. 10 3 cm                           D. 10 6 cm
4.长为a ， 宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则a2b+ab2的值为（    ）
A. 25                                        B. 50                                        C. 75                                        D. 100
5.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP=1,点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为（   ）

A. 4                                       B. 4 2                                       C. 5                                       D. 5 2
6.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（    ）

A. 75°                                       B. 60°                                       C. 55°                                       D. 45°
7.如图，正方形 ABCD 中，点E是 BC 边的中点.将 ΔABE 沿 AE 对折至 ΔAFE ，延长 EF 交 CD 边于点G，连接 AG ， CF .下列结论：① AE//FC ；② ΔADG≅ΔAFG ；③ CG=2DG ；④ SΔCEF=110S正ABCD .其中正确的有（    ）

A. ①②                                B. ①③④                                C. ②③④                                D. ①②③④
8.小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示，并测得∠ABC＝90°，若图2对角线BD＝40cm，则图1中对角线BD的长为（   ）

A. 20cm                           B. 20 2 cm                           C. 20 3 cm                           D. 20 6 cm
9.如图，矩形ABCD中，E为边AD上一点（不为端点），EF⊥AD交AC于点F，要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（   ）

A. △EBC                                   B. △EBF                                   C. △ECD                                   D. △EFC
10.如图，点B、C分别在直线y＝2x和y＝kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为（   ）

A. 12                                          B. 23                                          C. 1                                          D. 32
二、填空题（共7题；共8分）
11.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E、F，已知AD=4，则AE2+CF2＝________

12.如图，在 RtΔABC 中， ∠BAC=90°,BA=5,AC=8,D 是斜边BC上的一个动点，过点D分别作 DM⊥AB 于点M， DN⊥AC 于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为________．

13.如图，四边形ABCD是边长为m的正方形，若AF＝ 34 m，E为AB上一点且BE＝3，把△AEF沿着EF折叠，得到△A'EF，若△BA'E为直角三角形，则m的值为________.

14.如图，在正方形 ABCD 中， AC=2 ，E、F分别是边 AD 、 CD 上的点，且 AE=DF ， AF 、 BE 交于点O，P为 AB 的中点，则 OP= ________．

15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB＝OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，交AC于点N；②分别以点M，N为圆心，以大于 12 MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF．若AB＝ 3 ，则线段DF的长为________．

16.正方形A1B1C1O ， A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图所示放置，点A1 ， A2 ， A3 ， …和C1 ， C2 ， C3 ， …分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2020的纵坐标是________，点Bn的纵坐标是________．

17.如图，正方形ABCO的边长为 2 ，OA与x轴正半轴的夹角为15°，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k＝________．

三、综合题（共8题；共101分）
18.如图，四边形 ABCD 是矩形，E是 BC 边上一点，点F在 BC 的延长线上，且 CF=BE .

（1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形；
（2）连接 ED ，若 ∠AED=90° ， AB=4 ， BE=2 ，求四边形 AEFD 的面积.
19.如图，在 ▱ABC 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，点E，F分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DE=BF ，连接 AE ， CF ．

（1）求证： △ADE ≌ △CBF ；
（2）连接 AF ， CE ，当 BD 平分 ∠ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别与AD、BC相交于点M、N，与BD相交于点O，连结BM，DN.

（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若MD＝2AM，BD＝8，求矩形ABCD的周长.
21.如图，过线段AB的端点B作射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．

（1）求证： △AEP ≌ △CEP ；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）试探究AE+EF+AF与2AB是否相等，并说明理由．
22.在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F

（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．
23.已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，点E在BC延长线上，连接DE，∠A＋∠E＝180°．

（1）如图1，求证：CD=DE；
（2）如图2，过点C作BE的垂线，交AD于点F，请直接写出BE、AF、DF 之间的数量关系________；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC的平分线，交CD于G，交CF于H，连接FG，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE的长．
24.如图1，直线 y=-34x+6 与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 D ，直线 AB 交 x 轴于点 B ，将 △AOB 沿直线 AB 折叠，点 O 恰好落在直线 AD 上的点 C 处．

（1）求 OB 的长；
（2）如图2， F ， G 是直线 AB 上的两点，若 △DFG 是以 FG 为斜边的等腰直角三角形，求点 F 的坐标；
（3）如图3，点 P 是直线 AB 上一点，点 Q 是直线 AD 上一点，且 P ， Q 均在第四象限，点 E 是 x 轴上一点，若四边形 PQDE 为菱形，求点 E 的坐标．
25.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC，延长QC′交BA的延长线于点M

（1）求证:AP＝BQ；
（2）求证:MQ＝MB
（3）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长

答案
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD ，故A正确，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ，
不能推出四边形 ABCD 是菱形，故 B 错误，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ABC=90° ，
∴  四边形 ABCD 是矩形，故C正确，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， AC=BD ， AC⊥BD ，
∴  四边形 ABCD 是正方形.故D正确.
故答案为：B.
【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；
（2）根据菱形的判定“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知当AB=CD时，四边形ABCD是菱形错误；
（3）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可知 当∠ABC=90°时，四边形 ABCD 是矩形；
（4）根据对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形可知， 当 AC=BD 且 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形.  
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD，
故答案为：D．
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图2，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝ 22 BD＝ 22 ×20＝10 2 ，
如图1，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴OA＝ 12 AB＝5 2 ，
OB＝ 3 OA＝5 6 ，
∴BD＝2OB＝10 6 （cm）.
故答案为：D.
【分析】如图2，利用正方形的性质得到AB＝ 22 BD＝10 2 ，如图1，连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，BD平分∠ABC，则∠ABO＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB，从而得到BD的长.
4.【答案】 A
【解析】【解答】由题意得：a+b=5，ab=5，
原式=ab(a+b)=5×5=25.
故答案为：A.
【分析】根据长方形周长=2（长+宽），面积=长×宽，可得a+b=5，ab=5，利用提公因式将原式变形为ab(a+b)，然后整体代入计算即可.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
 则BP就是DQ+PQ的最小值，
 ∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP= 42+32=5.
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：C．

【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
∴∠BFA=180°-60°=120°，
∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC，进而得出∠CBF．
7.【答案】 D
【解析】【解答】①由折叠， ∠1=∠2 ， BE=FE . ∵BE=CE ， ∴FE=CE .
∴∠3=∠4 . ∵∠BEF=∠3+∠4 ， ∴∠1=∠3 . ∴AE‖FC . ∴ ①符合题意.
② ∵AD=AB=AF ， AG=AG ， ∠D=∠AFG=90° ，
∴RtΔADG≌RtΔAFG(HL) . ∴ ②符合题意.
③由①，②，设 BE=FE=CE=1 ， DG=FG=x .则 CG=2-x ， EG=1+x .
在 RtΔECG 中，有 (2-x)2+12=(1+x)2 .
解得 x=23 . ∴CG=43 . ∴CG=2DG . ∴ ③符合题意.
④由③， SΔCEG=12CE·CG=12×1×43=23 .
ΔCEF 和 ΔCFG 分别以 EF ， FG 为底时，高相等.
∴SΔCEG:SΔCFG=EF:FG=3:2 . ∴SΔCEF=35×23=25 .
S正ABCD=4 . ∴SΔCEF=110S正ABCD . ∴ ④符合题意.

【分析】①根据图形折叠的特点知 ∠1=∠2 ， BE=FE ；因为 BE=CE 已知，所以 FE=CE ， ∠3=∠4 ；由三角形外角性质可得 ∠BEF=∠3+∠4 ，进而推出 ∠1=∠3 故 AE‖FC 得以证明；故①符合题意；②在正方形 ABCD 中由于折叠的特点知， AD=AB=AF ， AG=AG ∠D=∠AFG=90° ，所以 RtΔADG≌RtΔAFG(HL) ；故②符合题意；③在①②证明的基础上，设 BE=FE=CE=1 ， DG=FG=x .则 CG=2-x ， EG=1+x ；在 RtΔECG 中，运用勾股定理有 (2-x)2+12=(1+x)2 ,解这个方程即可得出 CG 与 DG 的值，进而得出 CG=2DG ，故③符合题意；
④在③证明的基础上，可得 SΔCEG=12CE·CG=12×1×43=23 ，而 ΔCEF 和 ΔCFG 分别以 EF ， FG 为底时，高相等，所以 SΔCEG:SΔCFG=EF:FG=3:2 ，所以 SΔCEF=35×23=25 ，又因为 S正ABCD=4 ，所以 SΔCEF=110S正ABCD ，故斯符合题意.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形（图1），

当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形（图2），
∴图2中，∠A＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2 ，
∴AB＝AD＝ 22 BD＝ 202 cm，
图1中，连接AC，交BD于O，
∵∠B＝60°，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠ABO＝30°，
∴OA＝ 12 AB＝10 2 cm，OB＝ 3 OA＝10 6 cm，
∴BD＝2OB＝20 6 cm；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理即可求得正方形的边长，根据菱形的性质和勾股定理即可求得图1中BD的长.
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：连接DF、过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△ADN和△CBM中，
{∠DAN=∠BCM∠AND=∠CMB=90°AD=CB ，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∵ SΔBCF=12⋅CF⋅BM ， SΔCDF=12⋅CF⋅DN ，
∴S△BCF＝S△CDF ，
∵EF⊥AD，∠ADC＝90°，
∴EF∥CD，
∴ SΔCDF=12⋅CD⋅DE ， SΔCDF=12⋅CD⋅DE ，
∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF ，
故答案为：C.
【分析】连接DF、过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，
把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式，
得点B的坐标为（ a2 ，a），
则点C的坐标为（ a2+a ，a），
把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（ a2+a ），
解得k＝ 23 ，
故答案为：B.
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值.
二、填空题
11.【答案】 16
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=4，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵ AE⊥BG，CF⊥BG，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∆AEB≌∆BFC，
∴BE=CF，
∴ AE2+CF2＝ AE2+BE2＝AB2=42=16.
【分析】根据正方形的性质得出AB=BC=AD=4，∠ABC=90°，利用等角的余角相等得出∠BAE=∠CBF，证得∆AEB≌∆BFC，得出BE=CF，再根据勾股定理即可求出 AE2+CF2的值为16.
12.【答案】 408989
【解析】【解答】解：∵∠A= 90° ，BA=5，AC=8
∴BC= AB2+AC2=89
∵DM垂直AB,DN⊥AC
∴∠AMD=∠MDN=∠DNA= 90°
∴四边形ANDM是矩形
∵AD和MN是对角线，
∴AD=MN
当AD垂直BC时，AD最短，
△ABC的面积= 12 AB×AC= 12 BC×AD
∴AD= AB×ACBC = 408989
【分析】先由勾股定理算出BC的长，再证明出四边形ANDM是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
13.【答案】 12或 245
【解析】【解答】解：根据E为AB上一个动点，
把△AEF沿着EF折叠，得到 △A'EF ，
若 △BA'E 为直角三角形，
分两种情况讨论：
①当 ∠BA'E=90° 时，如图1，

点B、A'、F三点共线，
根据翻折可知：
∵AF＝ A'F ＝ 34m ，AB＝m，
∴BF＝ 54 m，
∴ BA'=BF-A'F=12m ，
∵BE＝3，
∴AE＝ A'E ＝m﹣3，
∵ A'E2+A'B2=BE2 ，
∴ (m-3)2+(12m)2=32 ，
解得，m＝ 245 ，或m＝0（舍），
故m＝ 245 ；
②当 ∠A'EB=90° 时，如图2，

∴ ∠A'EA=90° ，
根据翻折可知： ∠FA'E=∠A=90° , AF＝ A'F ＝ 34m
∴四边形 AEA'F 是正方形，
∴EA＝ 34 m，
∴BE＝AB﹣AE＝ 14 m＝3，
∴m＝12，
综上，m＝12或 245 ，
故答案为：12或 245 .
【分析】分两种情况讨论：①当 ∠BA'E=90° 时，分别用含m的式子表示出 A'E,A'B ，然后利用勾股定理即可求出m的值；②当 ∠A'EB=90° 时, 首先证明四边形 AEA'F 是正方形，然后利用正方形的性质即可求解.
14.【答案】 12
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠EAB=90°，AC= 2 AB，
∴AB= 22 AC= 22 × 2 =1，
在△ADF和△BAE中，
{AD=BA∠D=∠EABDF=AE
∴△ADF≌△BAE(SAS)，
∴∠DAF=∠ABE，
∵∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠ABE+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∵P为AB的中点，
∴OP= 12 AB= 12 ；
故答案为： 12
【分析】证明△ADF≌△BAE（SAS），得出∠DAF=∠ABE，证出∠AOB=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
15.【答案】 7
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OB＝OD，
∵AB＝OA，
∴AB＝OA＝OB＝ 3 ，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵AC＝2AO＝2 3 ，
∴AD＝BC＝ AC2-AB2 ＝3，
由作图过程可知：
AF是∠BAO的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝30°，
∴BF＝AB•tan30°＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，
∴DF＝ DC2+FC2=3+4=7 ．
故答案为： 7 ．
【分析】根据四边形ABCD是矩形，和AB＝OA，可得△ABO是等边三角形，由作图过程可得，AF是∠BAO的平分线，再根据勾股定理即可求出DF的长．
16.【答案】 22019；2n－1
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x+1=1，
∴点A1的坐标为（0，1）．
∵A1B1C1O为正方形，
∴点C1的坐标为（1，0），点B1的坐标为（1，1）．
同理，可得：B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），
∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
∴点Bn的纵坐标为2n﹣1 ，
∴点B2020的纵坐标为22019 ．
故答案为：22019 ， 2n﹣1 ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点B1、B2、B3、…的坐标，根据点坐标的变化找出点Bn的坐标，依此即可得出结论．
17.【答案】 2﹣ 3 ．
【解析】【解答】解：连接OB ， 过点B作BE⊥x轴于点E ， 如图所示．
∵正方形ABCO的边长为 2 ，
∴∠AOB＝45°，OB＝ 2 OA＝2．
∵OA与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOE＝45°﹣15°＝30°．
又∵∠BDO＝15°，
∴∠DBO＝∠BOE﹣∠BDO＝15°，
∴∠BDO＝∠DBO ，
∴OD＝OB＝2，
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
在Rt△BOE中，OB＝2，∠BOE＝30°，
∴BE＝ 12 OB＝1，OE＝ OB2-BE2 ＝ 3 ，
∴点B的坐标为（ 3 ，1）．
将B（ 3 ，1），D（﹣2，0）代入y＝kx+b ，
得： {3k+b=1-2k+b=0 ，
解得： {k=2-3b=4-23 ，
∴b﹣k＝4﹣2 3 ﹣（2﹣ 3 ）＝2﹣ 3 ．
故答案为：2﹣ 3 ．

【分析】连接OB ， 过点B作BE⊥x轴于点E ， 根据正方形的性质可得出∠AOB的度数及OB的长，结合三角形外角的性质可得出∠BDO＝∠DBO ， 利用等角对等边可得出OD＝OB ， 进而可得出点D的坐标，在Rt△BOE中，通过解直角三角形可得出点B的坐标，由点B ， D的坐标，利用待定系数法可求出k ， b的值，再将其代入（b﹣k）中即可求出结论．
三、综合题
18.【答案】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD//BC ， AD=BC .
∵ CF=BE ，
∴ CF+EC=BE+EC ，即 EF=BC .
∴ EF=AD ，
∴四边形 AEFD 是平行四边形.

（2）解：如图，连接 ED ，

∵四边形 ABCD 是矩形
∴ ∠B=90°
在 RtΔABE 中， AB=4 ， BE=2 ，
∴由勾股定理得， EA2=16+4=20 ，即 EA=25 .
∵ AD//BC ，
∴ ∠DAE=∠AEB .
∵ ∠B=∠AED=90° ，
∴ ΔABE∽ΔDEA .
∴ BEEA=EAAD 即 225=25AD ，解得 AD=10 .
由（1）得四边形 AEFD 是平行四边形，
又∵ EF=10 ，高 AB=4 ，
∴ S▱AEFD=EF⋅AB=10×4=40 .
【解析】【分析】（1）直接利用矩形的性质结合BE=CF,可得 EF=AD ，进而得出答案；（2）在 RtΔABE 中利用勾股定理可计算 EA=25 ，再由求出 ΔABE∽ΔDEA 得 BEEA=EAAD ，进而求出AD长，由 S▱AEFD=EF⋅AB 即可求解.
19.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD，
又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADE=∠CBF
在△ADE和△CBF中
{AD=BC∠ADE=∠CBFDE=BF
∴△ADE≌△CBF；

（2）解：四边形 AFCE 是菱形
理由如下：
如图，连接 AF ， CE ，

由（1）得△ADE≌△CBF
∴CF=AE, ∠E=∠F
∴AE∥CF
∴AE ∥__ CF
∴四边形AFCE是平行四边形
当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD
又∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ABD
∴AD=AB=BC
∴△ABC为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF
∴平行四边形AFCE是菱形
【解析】【分析】（1）利用SAS证明 △ADE ≌ △CBF 即可求解；（2）先证明四边形 AFCE 是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形．
20.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
{∠MDO=∠NBOBO=DO∠MOD=∠NOB ，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；

（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设AM长为x，则MB＝DM＝2x，AD＝3x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2 ，
即AB＝ 3 x，
∵BD2＝AB2+AD2 ，
∴64＝3x2+9x2 ，
∴x＝ 433 ，
∴AD＝3x＝4 3 ，AB＝ 3 x＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2×（4 3 +4）＝8 3 +8，
答：矩形ABCD的周长为8 3 +8.
【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△DMO≌△BNO，可得OM＝ON，由菱形的判定可证平行四边形BMDN是菱形；（2）设AM长为x，则MB＝DM＝2x，AD＝3x，由勾股定理可求AB＝ 3 x，由勾股定理可求x的值，即可求解.
21.【答案】 （1）证明：∵四边形APCD正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°，
∵PE＝PE，
∴△AEP≌△CEP（SAS）；

（2）解：CF⊥AB，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠ECP，
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠FCP，
令CF与线段AP交于点M，
∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠AMF+∠PAB＝90°，
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB；

（3）解：过点C作CN⊥PB．

∵CF⊥AB，BG⊥AB，
∴FC∥BN，
∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，
又AP＝CP，
∴△PCN≌△APB（AAS），
∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，
∵△AEP≌△CEP，
∴AE＝CE，
∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF
＝BN+AF
＝PN+PB+AF
＝AB+CN+AF
＝AB+BF+AF
＝2AB，
即AE+EF+AF＝2AB．
【解析】【分析】（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，则∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，则∠FCP+∠CMP＝90°，则∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．
22.【答案】 （1）证明：∵AF∥BC ，
∴∠AFE=∠DBE ，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE ，
在△AFE和△DBE中，
{∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE
∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE ， 则AF=DB ．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC ，
∴AF=CD ．
∵AF∥BC ，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC= 12 BC ，
∴四边形ADCF是菱形；

（3）连接DF ，

∵AF∥BD ， AF=BD ，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF= 12 AC▪DF= 12 ×4×5=10．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
23.【答案】 （1）∵ AD//BC,AB//DC
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A+∠E=180°，∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠E，
∴CD=DE；

（2）BE=AF+3DF
（3）如图3，过点B作BM⊥AD于点M，延长FM至K，使KM=HC．连接BK，

∵▱ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠BGC，
∵BG平分∠ABC，
∴设∠ABG=∠CBG=∠BGC=α，
∴BC=CG，
∵∠FGH=45°，
∴∠FGC=45°+α，
∵∠BCF=90°，
∴∠BHC=∠FHG=90°-α，
∴∠HFG=45°+α=∠FGC，
∴FC=CG=BC，
∵BM⊥AD，
∴∠MBC=90°=∠FCE=∠MFC，
∴四边形BCFM是矩形，
∵BC=FC，
∴四边形BCFM是正方形，
∴BM=MF=BC=AD，
∴MA=DF=8，
∵∠KMB=∠BCH=90°，KM=CH，
∴△BMK≌△BCH，
∴KM=CH=9，∠KBM=∠CBH=α，∠K=∠BHC=90°-α，
∵∠MBC=90°，
∴∠MBA=90°-2α，
∴∠KBA=90°-α=∠K，
∴AB=AK=8+9=17，
在Rt△ABM中，∠BMA=90°，BM= AB2-AM2 =15，
∴AD=BC=BM=15，
∴AF=AD-DF=15-8=7，
∴BE=AF+3DF=7+3×8=31．
【解析】【解答】（2）如图2，过点D作DN⊥BE于N，

∵CF⊥BE，
∴∠DNC=∠BCF=90°，
∴FC∥DN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形CFDN是矩形，
∴FD=CN，
∵CD=DE，DN⊥CE，
∴CN=NE=FD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AF+FD，
∴BE=AF+3DF．
【分析】（1）利用等角的补角判断出∠DCE=∠E即可；（2）先判断出四边形CFDN是矩形，再判断出CN=NE=FD，即可得出结论；（3）先判断出∠ABG=∠BGC，进而得出四边形BCFM是正方形，即可判断出△BMK≌△BCH，再用勾股定理求出BM=15，即可得出AD=BC=BM=15，即可求出结论．
24.【答案】 （1）对于直线 y=-34x+6 ，令 x=0 ，得到 y=6 ，可得 A(0,6) ，
令 y=0 ，得到 x=8 ，可得 D(8,0) ，
∴ AC=AO=6 ， OD=8 ， AD=OA2+OD2=10 ，
∴ CD=AD-AC=4 ，设 BC=OB=x ，则 BD=8-x ，
在 Rt△BCD 中，∵ BC2+CD2=BD2 ，
∴ x2+42=(8-x)2 ，
∴ x=3 ，
∴ OB=3 .

（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+6(k≠0) ，
∵ OB=3 ，即 B(3,0) ，
∴把 B(3,0) 代入 y=kx+6 得，
∴ 3k+6=0 ，
∴ k=-2 ，
∴直线 AB 的解析式为 y=-2x+6 ，
作 GM⊥x 轴于 M ， FN⊥x 轴于 N ，∴ ∠GMD=∠FND=90° ，
∵ △DFG 是等腰直角三角形，
∴ DG=FD ， ∠GDF=90° ，
∴ ∠1+∠NDF=90°=∠2+∠NDF ，
∴ ∠1=∠2 ，
在 △DMG 和 △FND 中，
{∠GMD=∠FND∠2=∠1GD=FD ，
∴ △DMG≅△FND(AAS) ，
∴ GM=DN ， DM=FN ，设 GM=DN=m ， DM=FN=n ，
∵ G 、 F 在直线 AB 上，
则： m=-2(8-n)+6 ， -n=-2(8-m)+6 ，
解得： m=2 ， n=6 ，
ON=OD-DN=8-2=6 ，
∴ F(6,-6) .


（3）如图，设 Q(a,-34a+6) ，
∵ PQ//x 轴，且点 P 在直线 y=-2x+6 上，
∴ P(38a,-34a+6) ，
∴ PQ=58a ，作 QH⊥x 轴于 H .
∴ DH=a-8 ，
∴ QHDH=34 ，
由勾股定理可知： QH:DH:DQ=3:4:5 ，
∵四边形 PQDE 为菱形，
∴ QH=34a-6 ，
∴ DQ=PQ=58a ， QH=35DQ=38a ，
∴ 38a=34a-6 .
∴ a=16 ，
∴ Q(16,-6) ， P(6,-6) ，
∵ ED//PQ ， ED=PQ=16-6=10 ， D(8,0) ，
∴ E(-2,0) .

【解析】【分析】（1）设BC＝OB＝x，则BD＝8−x，在Rt△BCD中，根据BC2＋CD2＝BD2 ， 构建方程即可解决问题；（2）作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，由△DMG≌△FND（AAS），推出GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DM＝m，DM＝FN＝n，根据G、F在直线AB上，构建方程组即可解决问题；（3）如图，设Q（a， -34 a＋6），因为PQ∥x轴，且点P在直线y＝−2x＋6上，推出P（ 38 a， -34 a＋6），PQ＝ 58 a，作QH⊥x轴于H．由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，想办法构建方程即可解决问题．
25.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠CQB+∠QBC=90°，
∵BQ⊥AP
∴∠QBC+∠APB=90°
∴∠CQB=∠APB
在△ABP和△BCQ中  
∴∠ABC=∠C∠CQB=∠APBAB=BC
∴△ABP≌△BCQ（AAS）
∴AP=BQ
（2）证明：∵将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC＇，           
∴△BQC≌△BQC＇,∠C=∠QC＇B=90°
∴∠CQB=∠MQB，BC＇=BC
∵DC∥BM
∴∠CQB=∠QBM
∴∠MQB=∠QBM
∴QM=BM
（3）解：∵AB=3=CD=BP+CP，BP＝2PC
∴3PC=3
解之：PC=1，则BP=2
∵△ABP≌△BCQ
∴QC=BP=2，
设AM=x，则BM=AM+AB=x+3，MC＇=QM-QC＇=BM-BP=x+3-2=x+1
在Rt△BMC＇中
MC＇2+BC＇2=BM2
∴（x+1）2+32=（x+3）2
解之：x=0.25
∴BM=0.25+3=3.25
∴QM=3.25.
【解析】【分析】 （1）利用正方形的性质，易证AB=BC，∠ABC=∠C=90°，再证明∠CQB=∠APB，利用AAS证明△ABP≌△BCQ，然后根据全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）利用折叠的性质，可证得△BQC≌△BQC＇,∠C=∠QC＇B=90°，再利用全等三角形的性质，可得到∠CQB=∠MQB，BC＇=BC，利用平行线的性质去证明∠MQB=∠QBM，然后根据等边对等角可证得结论。
（3）利用已知及全等三角形的性质求出PC，BP的长，设AM=x，用含x的代数式表示出BM，MC＇，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到QM的长。