八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试练习

北师版八年级数学上册

第一章　勾股定理

单元测试训练卷

一、选择题（共8小题，4*8=32）

1. 下列不能作为直角三角形三边长的一组数是(    )

A．7，24，25  B．1.5，2，2.5  C．15，8，17  D.，2，

2. RtABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是(    )                                                            

A. 25　　　　  B. 7　　　　   C. 12　　　　  D. 25或7

3. 已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距(    )

A．30海里    B．35海里    C．40海里    D．45海里

4. 《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a＋b)2的值为(　  )

A. 13　　　　 B. 19　　　　 C.25　　　　 D. 169

5. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，……，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为(　　)

A．2  B．4   C．8  D．16

6. 如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则这个三角形一定是(    )

A．锐角三角形  B．直角三角形 

C．钝角三角形  D．等腰三角形

7. 如图，圆柱高8 cm，底面圆的半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是(    )

A．20 cm    B．10 cm    C．14 cm    D．无法确定

8. 如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30 cm，每个台阶的高度都是15 cm，则A，B两点之间的距离等于(　　)

A．195 cm    B．200 cm  C．205  cm  D．210 cm

二．填空题（共6小题，4*6=24）

9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，则AB＝________．

10. 小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是__    __米．

11. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，过点M作MN⊥AC于点N，则MN＝_______.

12. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是_________

13. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m，长13 m，宽2 m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，则铺完这个楼道至少需要________元．

14. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝5 m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 __    _ m.(边缘部分的厚度忽略不计)

三．解答题（共5小题， 44分）

15．(6分) 如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：

(1)求△ABC的面积；

(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．

16．(8分) 如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一只壁虎在点B处看见一只昆虫从点A出发沿着AO方向匀速向点O运动，壁虎立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截昆虫，恰好在点C处截住了昆虫．如果壁虎爬行的速度与昆虫爬行的速度相等，那么壁虎爬行的路程BC是多少？

17．(8分) 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下至AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积说明勾股定理：a2＋b2＝c2.

18．(10分) 如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，求证∠PQC＝90°.

19．(12分) 图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．

(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；

(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；

(3)图乙中①②面积之和为__________；

(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

参考答案

1-4DDDC    5-8BBBA

9．15

10．170

11．

12．76

13．612

14．25

15．解：(1)用正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC的面积．S△ABC＝4×4－1×2×－4×3×－2×4×＝16－1－6－4＝5，所以△ABC的面积为5

(2)△ABC是直角三角形．理由如下：因为AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，BC2＝32＋42＝25，所以AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC是直角三角形

16．解：由题意得，AC＝BC.设AC＝x cm，则BC＝x cm，OC＝(45－x)cm.因为∠AOB＝90°，所以OB2＋OC2＝BC2.又因为OB＝15 cm，所以152＋(45－x)2＝x2，解得x＝25，即BC＝25 cm.所以壁虎爬行的路程BC是25 cm.

17．解：易得△ABC≌△C′D′A，所以∠C′AC＝90°.因为S梯形BCC′D′＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2，S△ABC＝ab，S△C′AC＝c2，S△AD′C′＝ab.又因为S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△C′AC＋S△AD′C′，所以(a＋b)2＝ab＋c2＋ab，即a2＋b2＝c2

18．解：(1)AP＝CQ.∵∠ABP＋∠PBC＝60°，∠QBC＋∠PBC＝60°，∴∠ABP＝∠QBC，又∵AB＝BC，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ，AP＝CQ

(2)设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，连接PQ，在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ＝4a，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2，∴△PQC为直角三角形，即∠PQC＝90°

19．解：(1)a　b　c　c

(2)a2　b2　c2

(3)a2＋b2

(4)由图乙和图丙可知大正方形的边长为a＋b，则面积为(a＋b)2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a、宽为b的长方形，根据面积相等得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，由图丙可得(a＋b)2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.