广西防城港市高三上学期12月模拟考试 数学（理科）练习题

这是一份广西防城港市高三上学期12月模拟考试 数学（理科）练习题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合A＝{x|x2-1＜0}，，那么A∩B＝〔 〕
A．(-1，1) B．(1，+∞) C． D．
2．，那么复数|z|＝〔 〕
A． B．2 C．1-3i D．1+3i
3．，那么cs 2α＝〔 〕
A． B． C． D．
4．某个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕
A． B． C． D．
5．圆M：(x-4)2+(y-3)2＝4和两点A(-a，0)，B(a，0)，假设圆M上存在点P，使得∠APB＝90°，那么a的最大值为〔 〕
A．4 B．5 C．6 D．7
6．(mx+1)n的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，那么m＝〔 〕
A．2 B．3 C．-2 D．-3
7．函数f(x)＝xln|x|的图象可能是〔 〕
A． B．
C． D．
8．随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ＜0)＝P(ξ＞a-3)，那么a＝〔 〕
A．-2 B．2 C．5 D．6
9．△ABC的三边满足条件，那么∠A＝〔 〕
A．30° B．45° C．60° D．120°
10．为的一个对称中心，那么f(x)的对称轴可能为〔 〕
A． B． C． D．
11．双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作垂直于实轴的弦PQ，假设，那么C的离心率e为〔 〕
A． B． C． D．
12．函数在R恰有两个零点，那么实数a的取值范围是〔 〕
A．(0，1) B．(e，+∞) C． D．
二、填空题
13．向量，，假设与垂直，那么实数k＝__________．
14．假设变量x、y满足约束条件，那么z＝x+2y的最大值为__________．
15．在三棱锥中P-ABC，PA，PB，PC两两相互垂直，PA＝PB＝PC＝1，那么此三棱锥内切球的半径为__________．
16．抛物线C：y2＝x，过C的焦点的直线与C交于A，B两点．弦AB长为2，那么线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为__________．
三、解答题
17．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2＝2an．
〔1〕求数列{an}的通项公式；
〔2〕假设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，，PA＝PD，E，F分别为AD，PC的中点．
〔Ⅰ〕求证：PA∥平面BEF；
〔Ⅱ〕假设PE＝EC，求二面角F-BE-A的余弦值．
19．某超市准备举办一次有奖促销活动，假设顾客一次消费到达400元那么可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案．
方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，假设抽到红球那么顾客获得80元的返金券，假设抽到白球那么获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．
方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，假设抽到红球那么顾客获得100元的返金券，假设抽到白球那么未中奖，且顾客有放回地抽取3次．
〔1〕现有两位顾客均获得抽奖时机，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率；
〔2〕假设某顾客获得抽奖时机．
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券？
20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|＝5．
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕求由A，B，C，D四点构成的四边形面积的取值范围．
21．函数．
〔1〕讨论f(x)的单调性；
〔2〕当时x∈(0，1)，，求实a数的取值范围．
选做题：
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3cs2θ)＝4．
〔1〕写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
〔2〕设点M(1，0)．假设直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AM|+|BM|的值．
23．函数f(x)＝|x+1|．
〔1〕求不等式f(x)＜|2x+1|-1的解集；
〔2〕关于x的不等式f(x-2)+f(x-3)＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
防城港市2021届高三模拟考试 数学〔理〕
参考答案
1．D【详解】由A＝{x|x2-1＜0}＝{x|-1＜x＜1}，又，那么．应选：D．
2．A【详解】由题意可得：z＝(2+i)(1+i)＝1+3i，那么．此题选择A选项．
3．B【详解】由题意结合诱导公式可得：，那么
．
4．C【详解】由三视图可知，几何体为高为2的三棱锥∴三棱锥体积：
选项：C
5．D【详解】假设点P满足∠APB＝90°，那么点P在以AB为直径的圆上，据此可知，满足题意时，圆x2+y2＝a2与圆(x-4)2+(y-3)2＝4有公共点，两圆的圆心距：，两圆的半径r1＝a，r2＝2，满足时应有：|r1-r2|≤d≤|r1+r2|，即：|a-2|≤5≤|a+2|，求解关于实数a的不等式可得：3≤a≤7，那么a的最大值为7．
6．A【详解】展开式二项式系数和为32，那么：2n＝32，故n＝5．那么各项系数和为(m×1+1)5＝243，据此可得：m＝2．
7．A【详解】函数的定义域{x|x≠0}关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知： f(-x)＝-x×ln|-x|＝-xln x＝-f(x)，那么函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当x＞0时，f(x)＝xln x，那么，当时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 当时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，即函数f(x)在区间(0，+∞)内先单调递减，再单调递增，据此可排除B选项，此题选择A选项．
8．C【详解】随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，那么正态分布的图象关于直线x＝1对称， 结合P(ξ＜0)＝P(ξ＞a-3)有，解得：a＝5．此题选择C选项．
9．D【详解】由可得：(b-c)2-a2＝-3bc，那么，据此可得∠A＝120°．
10．B【详解】由题意可知，当时，，据此可得：
，令k＝0可得，那么函数的解析式为，函数的对称轴满足：，解得：，令k＝-1可知函数的一条对称轴为，且很明显选项ACD不是函数f(x)的对称轴．此题选择B选项．
11．C【详解】双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2作垂直于实轴的弦PQ，假设，那么：△PF1Q为等腰直角三角形．由于通径，那么：，解得：c2-a2-2ac＝0，所以：e2-2e-1＝0， 解得：；由于e＞1，所以：，应选：C．
12．D解：当x＝0时，f(x)＝-1-e2≠0，故0不是函数的零点；当x∈(0，+∞)时，f(x)＝0等价于．令，那么．当x＜2时，g′(x)＜0，当x＝2时，g′(x)＝0，当x＞2时，g′(x)＞0，∴g(x)≥e2，即2a≥e2，． ①当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，0)上有两个零点，那么f(x)在(0，+∞)无零点，那么，∴0＜a＜1； ②当a≤0或a＝1时，f(x)在(-∞，0)上有一个零点，故f(x)在(0，+∞)上需要有一个零点，此时不合题意； ③当a＞1时，f(x)在(-∞，0)上无零点，故f(x)在(0，+∞)上需要有两个零点，那么． 综上，实数a的取值范围是．应选：D．
13．-1【详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，那么，即：(k+6)×1+(k-4)×1＝0，解得：k＝-1．
14．8【详解】绘制不等式组表示的可行域如下图，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点B(4，2)处取得最大值，其最大值为：zmax＝4+2×2＝8．
15．或【详解】由题意可知，三棱锥的三个面是直角边长为1的等腰直角三角形，一个面是边长为的等边三角形，那么三棱锥的外表积为：
，设三棱锥的内切球半径为R，利用等体积法可知：， 即：，解得：，即
．
16．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的焦点弦公式有：， 那么，tan2θ＝1，由抛物线的对称性，不妨取直线AB的斜率k＝tan θ＝1，那么直线AB的方程为：，与抛物线方程联立可得：，由韦达定理可得：
，设AB的中点M(xM，yM)，那么，，其垂直平分线方程为：， 令y＝0可得，即线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为．
17．【解】〔1〕∵Sn+2＝2an①∴Sn-1+2＝2an-1，(n≥2)② ①-②得Sn-Sn-1＝2an-2an-1＝an，那么，在①式中，令n＝1，得a1＝2．∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝2n；
〔2〕bn＝n·2n．所以Tn＝1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n③ 那么2Tn＝1·22+2·23+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n+n·2n+1④ ③-④得，
∴Tn＝(n-1)·2n+1+2．
18．【解】〔1〕连接AC交BE于O，并连接EC，FO，∵BC∥AD，，E为AD中点，∴AE∥BC，且AE＝BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴O为AC中点，又F为PC中点，∴OF∥PA，∵OF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF，∴PA∥平面BEF．
〔2〕由题意可知PE⊥面ABCD，BE⊥AD，如下图，以E为原点，EA、EB、EP分别为x、y、z建立直角坐标系，那么E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，．平面ABE法向量可取：，平面FBE中，设法向量为， 那么
，取，，所以二面角F-BE-A的余弦值为．
19．〔1〕选择方案一，那么每一次摸到红球的概率为． 设“每位顾客获得240元返金券〞为事件A，那么． 所以两位顾客均获得240元返金券的概率．
〔2〕①假设选择抽奖方案一，那么每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为．设获得返金券金额为X元，那么X可能的取值为60，120，180，240． 那么
；； ；
． 所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金券金额的数学期望为
〔元〕 假设选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，那么，故．所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)＝E(100Y)＝100〔元〕
②即E(X)＞E(Z)，所以应选择第一种抽奖方案．
20．【解】〔1〕由题意知，那么，，∴
．所以，所以椭圆的方程为；
〔2〕①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知
． ②当两弦斜率均存在且不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 且设直线AB的方程为， 那么直线CD的方程为． 将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得， 那么，
所以， 同理
， 所以
， 由，当且仅当k＝±1时取等号．∴，综合①与②可知，．
21．【解】 〔1〕∵．∴-1＜x＜1， ，∵-1＜x＜1，∴f′(x)≥2-a， 〔Ⅰ〕当a≤2时，f′(x)≥0，∴f(x)在(-1，1)上单调递增； 〔Ⅱ〕当a＞2时，
，∴f(x)在上单调递减；∴f(x)在，上单调递增．
〔2〕〔Ⅰ〕当a≤2时，由〔1〕知f(x)在(-1，1)上单调递增；∴x∈(0，1)，f(x)＞f(0)＝0＞f(-x)即有：，， 从而可得：，，∴
； 〔Ⅱ〕当a＞2时，由〔1〕知f(x)在上单调递减；∴，f(x)＜f(0)＝0＜f(-x)， 即有：，从而可得：，，∴，不合题意，舍去． 综上所述，实数a的取值范围为a≤2．
22．【解】〔1〕由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为， 又将曲线C的极坐标方程化为ρ2+3ρ2cs2θ＝4，曲线C的直角坐标方程为．
〔2〕将直线l的参数方程代入中，得，得7t2+16t＝0 此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，得，t2＝0，∴由直线参数的几何意义，知
23．解：〔1〕∵f(x)＜|2x+1|-1，∴|x+1|-|2x+1|+1＜0 当x＜-1时，不等式可化为-x-1+(2x+1)+1＜0，解得x＜-1，所以x＜-1； 当，不等式可化为x+1+(2x+1)+1＜0，解得x＜-1，无解； 当时，不等式可化为x+1-(2x+1)+1＜0，解得x＞1，所以x＞1 综上所述，A＝(-∞，-1)∪(1，+∞)
〔2〕因为f(x-2)+f(x-3)＝|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|＝1 且f(x-2)+f(x-3)＜a的解集不是空集， 所以a＞1，即a的取值范围是(1，+∞)