2021届高中数学一轮复习苏教版（理）14.3数学归纳法作业（江苏专用）

这是一份2021届高中数学一轮复习苏教版（理）14.3数学归纳法作业（江苏专用），共15页。
课时作业70　数学归纳法
一、选择题　　　　　　　　　　　　1．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k时的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)A．(k＋1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]解析：n＝k时，左边为…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…，n＝k＋1时，左边为…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…，可见左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.故选B.答案：B2．(2019年高考数学理)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　)A．1  B．1＋2C．1＋2＋22  D．1＋2＋22＋23解析：当n＝1时，左边计算的式子为1＋2＋22＋23，故选D.答案：D 3．(2019年河南省濮阳市高三第二次模拟)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N：第2017行的第N项为2的正整数幂．已知210＝1 024，那么该款软件的激活码是(　　)1　 2　 3 　4 　5 　6 　7 　… 3 　5 　7 　9 　11　13　…                 8 　12　16　20　24　…                   20　28　36　44　…                     48　64　80　…                           …A．1 040  B．1 045　C．1 060  D．1 065解析：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2n－1，记第n行的第m个数为f(n，m)，则f(n，1)＝f(n－1，1)＋f(n－1，2)＝2f(n－1，1)＋2n－2，即＝＋，算得f(n，1)＝(n＋1)2n－2，则f(n，m)＝f(n，1)＋(m－1)·2n－1＝2n－2(2m＋n－1)，又已知第2 017行的第N项为2的正整数幂，且210＝1 024，可推得N＝1 040，即该款软件的激活码是1 040，故选A.答案：A图14．(2019年内蒙古包头市高三第一次模拟)现有4张牌(1)、(2)、(3)、(4)，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了(　　)A．翻且只翻(1)(4)  B．翻且只翻(2)(4)C．翻且只翻(1)(3)  D．翻且只翻(2)(3)解析：由题意，当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看(1)是否正确，这样(3)就不用翻看了，7后面不能是R，要查(4)，所以为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看(1)(4)两种牌即可，故选A.答案：A5．(2019年河北武邑中学高三上学期第二次调研)用数学归纳法证明1＋＋＋…<n(n∈N*，n>1)时，由n＝k(k>1)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1  B．2k－1C．2k  D．2k＋1解析：当n＝k时，左边＝1＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋…＋.因为2k，2k＋1，2k＋2，…，2k＋1－1是一个首项为2k，公差为1的等差数列，共有2k项，所以左边增加了2k项．故选C.答案：C6．(2019年广东省中山市第一中学高二统测)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成(　　)A．假设当n＝k(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除解析：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确；故选D.答案：D7．(2019学年江西省抚州市临川区第一中学高二月考)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<n(n∈N*，且n>1)时，第一步应证明下述哪个不等式成立(　　)A．1<2  B．1＋＋<2C．1＋<2  D．1＋<2解析：由题干知n>1，故从2开始，第一步应该代入2，得到1＋＋<2.故答案为B.答案：B8．(2019年安徽省六安市第一中学高二月考)已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，则b2 017＝(　　)A.  B.C.  D.解析：∵数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，∴b1＝1－＝，b2＝＝，a2＝1－＝，b3＝＝，a3＝1－＝，b4＝＝，a4＝1－＝，由此猜想bn＝，∴b2 017＝，故选A.答案：A9．(2019年山东省、湖北省部分重点中学高三联考)已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如下所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，比如a3，2＝9，a4，2＝15，a5，4＝23，若ai，j＝2 017，则i＋j＝(　　)  1                               3　5                         11　9　7                       13　15　17　19                     29　27　25　23　21                            ……A．64  B．65C．71  D．72解析：奇数数列an＝2n－1＝2 017⇒n＝1 009，即2 017为第1 009个奇数．按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数．则2017位于第45行，而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数，故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72，故选D.答案：D10．(2019年陕西省宝鸡中学高二月考)已知数列{an}中， a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则可归纳猜想{an}的通项公式为(　　)A．an＝  B．an＝C．an＝  D．an＝解析：∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝，a3＝，归纳猜想{an}的通项公式为an＝，故选B.答案：B11．用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋”时，由n＝k时的假设证明n＝k＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(　　)A.＋…＋＋B.＋…＋＋＋C.＋…＋＋D.＋…＋＋解析：当n＝k＋1时，等式的右边为＋＋…＋＋，可化简为＋＋…＋＋，故选D.答案：D12．(2019年重庆市第一中学高二月考)已知1＋＝， 1＋＋＝， 1＋＋＋＝，…，若1＋＋＋＋…＋＝ , 则n＝(　　)A．5  B．6C．7  D．8解析：＝＝2×，则1＋＋＋＋…＋＝1＋2×＋2×＋2×＋…＋2×＝1＋2×，从而有方程1＋2×＝，解得n＝6.本题选择B选项．答案：B二、填空题13．(2019年高考数学理)观察分析下表中的数据： 多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；正方体中6＋8－12＝2.由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝214．(2019年河南省豫南九校下学期高二联考)若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，f(14)＝17.记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2 018(9)＝________．解析：由题意得92＋1＝82，8＋2＝10，故f1(9)＝10；102＋1＝101，1＋0＋1＝2，故f2(9)＝f(f1(9))＝f(10)＝2；22＋1＝5，故f3(9)＝f(f2(9))＝f(2)＝5；52＋1＝26，2＋6＝8，故f4(9)＝f(f3(9))＝f(5)＝8；82＋1＝65，6＋5＝11，故f5(9)＝f(f4(9))＝f(8)＝11；112＋1＝122，1＋2＋2＝5，故f6(9)＝f(f5(9))＝f(11)＝5.当n≥3(n∈N*)时，fn＋3(9)＝fn(9)．∴f2 018(9)＝f671×3＋5(9)＝f5(9)＝11.答案：1115．(2019年河南省南阳市第一中学高二月考)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________．解析：二维空间中的圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S，所以四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W′＝8πr3，则W＝2πr4.答案：2πr416．(2019年陕西省西安中学高二质检)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想： 1＋＋＋＋…＋<________．解析：不等式的左边规律是n＋1个自然数倒数的平方的和，右边分母规律是以2为首项， 1为公差的等差数列，分子是以3为首项， 2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1＋＋＋…＋<，所以1＋＋＋＋…＋<，故答案为.答案：三、解答题17．(2019年河南省南阳市第一中学高二月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－＋2(n为正整数)．(1)令bn＝2n·an，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令cn＝an，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，试比较Tn与的大小，并予以证明．解：(1)在Sn＝－an－＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝，当n≥2时，Sn－1＝－an－1－＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋，∴2an＝an－1＋，即2nan＝2n－1an－1＋1.∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1，又b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.(2)由(1)得cn＝an＝(n＋1)，所以Tn＝2×＋3×＋4×＋…＋(n＋1)，①Tn＝2×＋3×＋4×＋…＋(n＋1)，②由①－②得Tn＝1＋＋＋…＋－(n＋1)＝1＋－(n＋1)＝－，∴Tn＝3－，Tn－＝3－－＝，于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，2<2×1＋1；22<2×2＋1；23>2×3＋1；24>2×4＋1；25>2×5＋1.猜想：当n≥3时，2n>2n＋1.证明如下：证法1：(1)当n＝3时，猜想显然成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，即2k>2k＋1，则n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)>2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时猜想也成立综合(1)(2)可知，对一切n≥3的正整数，都有2n>2n＋1.证法2：当n≥3时，2n＝(1＋1)n＝C＋C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，综上所述，当n＝1，2时，Tn<，当n≥3时，Tn>.18．(2019年江苏省徐州市县区高二月考)将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，….分别计算各组包含的正整数的和如下：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111.(1)求S7的值；(2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，试猜测S1＋S3＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．解：(1)S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.(2)S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256.猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.证明如下：记Mn＝S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1，①当n＝1时，猜想成立．②假设当n＝k时，命题成立，即Mk＝S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.下面证明当n＝k＋1时，猜想也成立．事实上，由题设可知Sn是由1＋2＋3＋…＋(n－1)＋1＝＋1开始的n个连续自然数的和．所以Sn＝＋＋…＋＝，所以S2k＋1＝＝(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝4k3＋6k2＋4k＋1，从而Mk＋1＝Mk＋S2k＋1＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以猜想在n＝k＋1时也成立．综合(1)(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立．19．(2019年广西河池市高级中学高二月考)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1，2，…)．(1)用反证法证明：an＋1≠an；(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an，并用数学归纳法证明你的结论正确．解：(1)证明：假设an＋1＝an，即＝an，解得an＝0或an＝1，从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0，或an＝an－1＝…＝a2＝a1＝1，这与题设a1>0，a1≠1相矛盾，所以an＋1＝an不成立．故an＋1≠an成立．(2)由题意得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，由此猜想：an＝.证明：①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝成立，当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，∴当n＝k＋1时，猜想也成立．由①和②知，对一切正整数n，都有an＝成立．