


所属成套资源:高考数学(理)一轮复习课时作业含解析专题
高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算课时作业理含解析
展开
这是一份高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算课时作业理含解析,共8页。
一、选择题
1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=eq \f(1,2)x-2a,则x=( )
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+2eq \(OB,\s\up6(→))+3eq \(OC,\s\up6(→)),则( )
A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面
C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面
3.已知空间四边形OABC中,eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则eq \(MN,\s\up6(→))=( )
A.eq \f(1,2)a-eq \f(2,3)b+eq \f(1,2)cB.-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b-eq \f(1,2)cD.eq \f(2,3)a+eq \f(2,3)b-eq \f(1,2)c
4.已知四边形ABCD满足:eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0,eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))>0,eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))>0,eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0,则该四边形为( )
A.平行四边形B.梯形
C.长方形D.空间四边形
5.[2021·日照调研]已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且eq \f(AC,AB)=eq \f(1,3),则C点的坐标为( )
A.(eq \f(7,2),-eq \f(1,2),eq \f(5,2)) B.(eq \f(8,3),-3,2)
C.(eq \f(10,3),-1,eq \f(7,3)) D.(eq \f(5,2),-eq \f(7,2),eq \f(3,2))
二、填空题
6.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,用a,b,c表示向量eq \(MN,\s\up6(→))=________.
7.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为________.
8.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为________.
三、解答题
9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=eq \r(3),且a分别与eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))垂直,求向量a的坐标.
10.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→));
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→));
(3)EG的长.
[能力挑战]
11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:
(1)CM∥平面PAD;
(2)平面PAB⊥平面PAD.
课时作业45
1.解析:由b=eq \f(1,2)x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).故选B.
答案:B
2.解析:由6eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+2eq \(OB,\s\up6(→))+3eq \(OC,\s\up6(→)),
得eq \(OP,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=2(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OP,\s\up6(→)))+3(eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OP,\s\up6(→))),即eq \(AP,\s\up6(→))=2eq \(PB,\s\up6(→))+3eq \(PC,\s\up6(→)),故eq \(AP,\s\up6(→)),eq \(PB,\s\up6(→)),eq \(PC,\s\up6(→))共面,又它们有公共点P,因此,P,A,B,C四点共面,故选B.
答案:B
3.解析:显然eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(ON,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)))-eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c.故选B.
答案:B
4.解析:由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0,eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))>0,eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))>0,eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0,可得四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD,∠ADC和∠BAD均为钝角.而在平面四边形中任一四边形的内角和均为360°,知该四边形一定不是平面图形.故选D.
答案:D
5.解析:由题意知2eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→)),设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-8=2-x,,2y-2=-5-y,,2z-6=1-z,))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(10,3),,y=-1,,z=\f(7,3).))即C(eq \f(10,3),-1,eq \f(7,3)),故选C.
答案:C
6.解析:如图所示,
eq \(MN,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(MC,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→)))+(eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→)))]=eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))-2eq \(OM,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)(b+c-a).
答案:eq \f(1,2)(b+c-a)
7.解析:因为(a+λb)⊥a,
所以(a+λb)·a=a2+λb·a=(eq \r(2))2+λ×(0+1+0)=0,解得λ=-2.
答案:-2
8.解析:cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a|·|b|)=-eq \f(2\r(5),15).
答案:-eq \f(2\r(5),15)
9.解析:(1)由题意可得:eq \(AB,\s\up6(→))=(-2,-1,3),eq \(AC,\s\up6(→))=(1,-3,2),
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)=eq \f(-2+3+6,\r(14)×\r(14))=eq \f(7,14)=eq \f(1,2),
所以sin〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\r(3),2),
所以以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积:
S=2×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=14×eq \f(\r(3),2)=7eq \r(3).
(2)设a=(x,y,z),
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+y2+z2=3,,-2x-y+3z=0,,x-3y+2z=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=1,,z=1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=-1,,z=-1.))
所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
10.解析:设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AC,\s\up6(→))=b,eq \(AD,\s\up6(→))=c.
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
eq \(EF,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(1,2)c-eq \f(1,2)a,eq \(BA,\s\up6(→))=-a,eq \(DC,\s\up6(→))=b-c,
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c-\f(1,2)a))·(-a)
=eq \f(1,2)a2-eq \f(1,2)a·c=eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(c-a)·(b-c)
=eq \f(1,2)(b·c-a·b-c2+a·c)=-eq \f(1,4).
(3)eq \(EG,\s\up6(→))=eq \(EB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CG,\s\up6(→))=eq \f(1,2)a+b-a+eq \f(1,2)c-eq \f(1,2)b
=-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c,
|eq \(EG,\s\up6(→))|2=eq \f(1,4)a2+eq \f(1,4)b2+eq \f(1,4)c2-eq \f(1,2)a·b+eq \f(1,2)b·c-eq \f(1,2)c·a=eq \f(1,2),则|eq \(EG,\s\up6(→))|=eq \f(\r(2),2).
11.
证明:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,
CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
∵PC⊥平面ABCD,
∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
∴∠PBC=30°,
∵PC=2,∴BC=2eq \r(3),PB=4,
∴D(0,1,0),B(2eq \r(3),0,0),A(2eq \r(3),4,0),P(0,0,2),Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),0,\f(3,2))),
∴eq \(DP,\s\up6(→))=(0,-1,2),eq \(DA,\s\up6(→))=(2eq \r(3),3,0),eq \(CM,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),0,\f(3,2))).
(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DP,\s\up6(→))·n=0,,\(DA,\s\up6(→))·n=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-y+2z=0,,2\r(3)x+3y=0,))
令y=2,得n=(-eq \r(3),2,1).
∵n·eq \(CM,\s\up6(→))=-eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)+2×0+1×eq \f(3,2)=0,
∴n⊥eq \(CM,\s\up6(→)).又CM⊄平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)解法一 由(1)知eq \(BA,\s\up6(→))=(0,4,0),eq \(PB,\s\up6(→))=(2eq \r(3),0,-2),
设平面PAB的一个法向量为m=(x0,y0,z0),
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))·m=0,,\(PB,\s\up6(→))·m=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4y0=0,,2\r(3)x0-2z0=0,))
令x0=1,得m=(1,0,eq \r(3)),
又∵平面PAD的一个法向量n=(-eq \r(3),2,1),
∴m·n=1×(-eq \r(3))+0×2+eq \r(3)×1=0,
∴平面PAB⊥平面PAD.
解法二 取AP的中点E,连接BE,
则E(eq \r(3),2,1),eq \(BE,\s\up6(→))=(-eq \r(3),2,1).
∵PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))=(-eq \r(3),2,1)·(2eq \r(3),3,0)=0,
∴eq \(BE,\s\up6(→))⊥eq \(DA,\s\up6(→)).∴BE⊥DA.
又PA∩DA=A,
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
相关试卷
这是一份高考数学一轮复习第七章第六节空间向量及其运算课时作业理含解析北师大版,共7页。
这是一份高考数学一轮复习第八章第五节椭圆课时作业理含解析北师大版,共7页。
这是一份高考数学一轮复习第七章第六节空间向量及其运算课时作业理含解析北师大版,共7页。
