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    高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算课时作业理含解析 练习

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    高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算课时作业理含解析

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    这是一份高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算课时作业理含解析,共8页。
    一、选择题
    1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=eq \f(1,2)x-2a,则x=( )
    A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
    C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
    2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+2eq \(OB,\s\up6(→))+3eq \(OC,\s\up6(→)),则( )
    A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面
    C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面
    3.已知空间四边形OABC中,eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则eq \(MN,\s\up6(→))=( )
    A.eq \f(1,2)a-eq \f(2,3)b+eq \f(1,2)cB.-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c
    C.eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b-eq \f(1,2)cD.eq \f(2,3)a+eq \f(2,3)b-eq \f(1,2)c
    4.已知四边形ABCD满足:eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0,eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))>0,eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))>0,eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0,则该四边形为( )
    A.平行四边形B.梯形
    C.长方形D.空间四边形
    5.[2021·日照调研]已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且eq \f(AC,AB)=eq \f(1,3),则C点的坐标为( )
    A.(eq \f(7,2),-eq \f(1,2),eq \f(5,2)) B.(eq \f(8,3),-3,2)
    C.(eq \f(10,3),-1,eq \f(7,3)) D.(eq \f(5,2),-eq \f(7,2),eq \f(3,2))
    二、填空题
    6.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,用a,b,c表示向量eq \(MN,\s\up6(→))=________.
    7.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为________.
    8.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为________.
    三、解答题
    9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
    (1)求以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积;
    (2)若|a|=eq \r(3),且a分别与eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))垂直,求向量a的坐标.
    10.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
    (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→));
    (2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→));
    (3)EG的长.
    [能力挑战]
    11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:
    (1)CM∥平面PAD;
    (2)平面PAB⊥平面PAD.
    课时作业45
    1.解析:由b=eq \f(1,2)x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).故选B.
    答案:B
    2.解析:由6eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+2eq \(OB,\s\up6(→))+3eq \(OC,\s\up6(→)),
    得eq \(OP,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=2(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OP,\s\up6(→)))+3(eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OP,\s\up6(→))),即eq \(AP,\s\up6(→))=2eq \(PB,\s\up6(→))+3eq \(PC,\s\up6(→)),故eq \(AP,\s\up6(→)),eq \(PB,\s\up6(→)),eq \(PC,\s\up6(→))共面,又它们有公共点P,因此,P,A,B,C四点共面,故选B.
    答案:B
    3.解析:显然eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(ON,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)))-eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c.故选B.
    答案:B
    4.解析:由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0,eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))>0,eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))>0,eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0,可得四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD,∠ADC和∠BAD均为钝角.而在平面四边形中任一四边形的内角和均为360°,知该四边形一定不是平面图形.故选D.
    答案:D
    5.解析:由题意知2eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→)),设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-8=2-x,,2y-2=-5-y,,2z-6=1-z,))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(10,3),,y=-1,,z=\f(7,3).))即C(eq \f(10,3),-1,eq \f(7,3)),故选C.
    答案:C
    6.解析:如图所示,
    eq \(MN,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(MC,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→)))+(eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→)))]=eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))-2eq \(OM,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)(b+c-a).
    答案:eq \f(1,2)(b+c-a)
    7.解析:因为(a+λb)⊥a,
    所以(a+λb)·a=a2+λb·a=(eq \r(2))2+λ×(0+1+0)=0,解得λ=-2.
    答案:-2
    8.解析:cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a|·|b|)=-eq \f(2\r(5),15).
    答案:-eq \f(2\r(5),15)
    9.解析:(1)由题意可得:eq \(AB,\s\up6(→))=(-2,-1,3),eq \(AC,\s\up6(→))=(1,-3,2),
    所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)=eq \f(-2+3+6,\r(14)×\r(14))=eq \f(7,14)=eq \f(1,2),
    所以sin〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\r(3),2),
    所以以eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积:
    S=2×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin〈eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=14×eq \f(\r(3),2)=7eq \r(3).
    (2)设a=(x,y,z),
    由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+y2+z2=3,,-2x-y+3z=0,,x-3y+2z=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=1,,z=1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=-1,,z=-1.))
    所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
    10.解析:设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AC,\s\up6(→))=b,eq \(AD,\s\up6(→))=c.
    则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
    eq \(EF,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))=eq \f(1,2)c-eq \f(1,2)a,eq \(BA,\s\up6(→))=-a,eq \(DC,\s\up6(→))=b-c,
    (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c-\f(1,2)a))·(-a)
    =eq \f(1,2)a2-eq \f(1,2)a·c=eq \f(1,4).
    (2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(c-a)·(b-c)
    =eq \f(1,2)(b·c-a·b-c2+a·c)=-eq \f(1,4).
    (3)eq \(EG,\s\up6(→))=eq \(EB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CG,\s\up6(→))=eq \f(1,2)a+b-a+eq \f(1,2)c-eq \f(1,2)b
    =-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c,
    |eq \(EG,\s\up6(→))|2=eq \f(1,4)a2+eq \f(1,4)b2+eq \f(1,4)c2-eq \f(1,2)a·b+eq \f(1,2)b·c-eq \f(1,2)c·a=eq \f(1,2),则|eq \(EG,\s\up6(→))|=eq \f(\r(2),2).
    11.
    证明:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,
    CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
    ∵PC⊥平面ABCD,
    ∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
    ∴∠PBC=30°,
    ∵PC=2,∴BC=2eq \r(3),PB=4,
    ∴D(0,1,0),B(2eq \r(3),0,0),A(2eq \r(3),4,0),P(0,0,2),Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),0,\f(3,2))),
    ∴eq \(DP,\s\up6(→))=(0,-1,2),eq \(DA,\s\up6(→))=(2eq \r(3),3,0),eq \(CM,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),0,\f(3,2))).
    (1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DP,\s\up6(→))·n=0,,\(DA,\s\up6(→))·n=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-y+2z=0,,2\r(3)x+3y=0,))
    令y=2,得n=(-eq \r(3),2,1).
    ∵n·eq \(CM,\s\up6(→))=-eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)+2×0+1×eq \f(3,2)=0,
    ∴n⊥eq \(CM,\s\up6(→)).又CM⊄平面PAD,
    ∴CM∥平面PAD.
    (2)解法一 由(1)知eq \(BA,\s\up6(→))=(0,4,0),eq \(PB,\s\up6(→))=(2eq \r(3),0,-2),
    设平面PAB的一个法向量为m=(x0,y0,z0),
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))·m=0,,\(PB,\s\up6(→))·m=0,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4y0=0,,2\r(3)x0-2z0=0,))
    令x0=1,得m=(1,0,eq \r(3)),
    又∵平面PAD的一个法向量n=(-eq \r(3),2,1),
    ∴m·n=1×(-eq \r(3))+0×2+eq \r(3)×1=0,
    ∴平面PAB⊥平面PAD.
    解法二 取AP的中点E,连接BE,
    则E(eq \r(3),2,1),eq \(BE,\s\up6(→))=(-eq \r(3),2,1).
    ∵PB=AB,∴BE⊥PA.
    又∵eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))=(-eq \r(3),2,1)·(2eq \r(3),3,0)=0,
    ∴eq \(BE,\s\up6(→))⊥eq \(DA,\s\up6(→)).∴BE⊥DA.
    又PA∩DA=A,
    ∴BE⊥平面PAD.
    又∵BE⊂平面PAB,
    ∴平面PAB⊥平面PAD.

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