中考数学压轴题专项训练06规律问题含解析

规律问题

1．某种球形病毒的直径约是0.01纳米，一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人体就会感到不适．（1米纳米）

（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？

（2）从感染到第一个病毒开始，经过多少分钟，人体会感到不适？

【答案】（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；（2）从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．

【解析】解：（1）由题意可知：经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是0.01×1×105=1000（纳米）

答：从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；

（2）1分米=米纳米

而÷（0.01×1）=

∴从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适

答：从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．

2．你会求的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：

（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到_____；

（2）利用上面的结论求的值．

（3）求的值

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）由题可以得到

（2）由结论得：

（3）

3．计算|1﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．

【答案】

【解析】解：

．

4．观察下列等式：

第1个等式：；第2个等式：；

第3个等式：；第4个等式：；

……

解答下列问题：

（1）按以上规律写出第5个等式：——————　=　——————．

（2）求的值．

（3）求的值．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【解析】解：（1）第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；……

第5个等式：；

故答案为：；；

（2）

；

（3）

．

5．阅读材料：求的值．

解：设，将等式的两边同乘以2，得

将下式减去上式得，

即．

即

请你仿照此法计算：

（1）填空：          ．

（2）求的值．

（3）求的值．（其中n为正整数）

【答案】（1）15；（2）2047；（3）．

【解析】解：（1）由题意可得，
1+2+22+23=24-1=16-1=15，
故答案为：15；

（2）由题意可得，

；

（3）设，

则，

，

，

解得，，

即的值是．

6．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是年月份的日历，我们用如图所示的四边形框出五个数．

年月：

（1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如：，．不难发现，结果都是．若设中间位置的数为，请用含的式子表示发现的规律，并写出验证过程．

（2）用同样的四边形框再框出个数，若其中最小数的倍与最大数的和为，求出这个数中的最大数的值．

（3）小明说：我用同样的四边形框也框出了个数，其中最小数与最大数的积是．请判断他的说法是否正确，并说明理由．

【答案】（1），见解析；（2）28；（3）正确，见解析

【解析】（1）设中间位置的数为，左边数为，右边数，上面数，下面数为，

则

（2），，

．

（3）正确

，

(舍去)或者，可以存在．

7．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数．

根据材料，完成下列问题：

（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________

（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．

（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．

【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773

【解析】解：（1）最大的两位对称数是99，

最小的三位对称数是101，

，

故答案是：200；

（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，

则这两位数分别是、，

，

它们的差是，

这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；

（3）设这个四位数的个位数是x，则十位数是，

这个数可以表示为，化简得，

令，则这个数是1991，

令，则这个数是2882，

令，则这个数是3773，

……

令，则这个数是9119，

其中只有3773能够被7整除，

∴满足条件的四位数是3773．

8．用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)

（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为          ．

（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．

（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？

【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克．

【解析】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，

搭建第②个几何体的小立方体的个数为，

搭建第③个几何体的小立方体的个数为，

归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为，

故答案为：30；

（2）第②个几何体的三视图如下：

由题意，每个小正方形的面积为，

则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为；

第③个几何体的三视图如下：

则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为；

（3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为，

则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为，

因此，共需要油漆的克数为（克），

答：共需要992克油漆．

9． 阅读下列解题过程：

，   ，

请回答下列回题：

（1）观察上面的解答过程，请写出                   ；

（2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；

（3）利用上面的解法，请化简：

【答案】（1）；（2）；（3）9．

【解析】（1）

；

故答案为：．

（2）观察前面例子的过程和结果得：；

（3）反复运用得

=

=

==-1+10=9．

10．先化简，再求值：，其中.

【答案】2021.

【解析】原式=

，

，

当时，

原式

11．观察下列三行数，回答问题：

-1、+3、-5、    +7、-9、    +11、……

-3、    +1、-7、    +5、-11、+9、……

+3、-9、    +15、-21、+27、-33、……

（1）第①行第9个数是___________

第②行第9个数是___________

第③行第9个数是___________

（2）在第②行中，是否存在连续的三个数，使其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由．

（3）是否存在第m列数（每行取第m个数），这三个数的和正好为-99？若存在，求m；若不存在，说明理由．

【答案】（1）-17；-19；51．（2）存在，85，-91，89；（3）第列数不存在，理由见解析．

【解析】（1）观察到第①行的规律是，第②行的规律是将第①行的数-2，第③行的规律是，

因此当n=9时，第①行的数为-17

∴第②行的数为-17-2=-19，第③行的数为；

（2）设第②行存在连续的三个数和为83，且第一个数为，

若，即在第②行中的偶数次列，满足第列的数为（其中为正偶数），

则，

得，

即，符合题意，在第②行第44列，

此时，连续的三个数依次为85，-91，89．

若，即在第②行中的奇数次列，满足第列的数为（其中为正奇数），

则，

得，

即，，不符合题意，故舍去，

综上所述，存在这样连续的三个数使和为83，依次为85，-91，89．

（3）设存在第列数使三个数的和为-99，且此列第①行的数为，

则第列第②行的数为，第③行的数为，

，

得，

又第①行中奇数次列为负，偶数次列为正，

，即97在第①行第49列，应为负，故假设不成立，

所以，这样的第列数不存在．

12．回答下列问题：

（1）填空：

___________________；

_____________________；

______________________．

（2）猜想：

___________________．（其中为正整数，且）；

（3）利用（2）猜想的结论计算：

①；

②．

【答案】（1）；；；（2）；（3）①2046；②682

【解析】解：；

；

；

故答案为：；；；

（2）根据（1）中的规律，可得猜想：

（其中为正整数，且），

故答案为：；

（3）①

；

②

．