2022版新高考数学人教版一轮课件：第7章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质

这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第7章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质，共60页。PPT课件主要包含了b⊂α，a∥b，两个半平面，直二面角，α⊥β，a⊥β，ABC，ABD等内容，欢迎下载使用。

第五讲　直线、平面垂直的判定与性质
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一　直线与平面垂直(1)直线与平面垂直①定义：若直线l与平面α内的_______一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条_______直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，_______，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_______.即：a⊥α，b⊥α⇒_______.
知识点二　平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_______的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]．
(2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒_______.③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_______的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒_______.　
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　　)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
×　×　√　×　√　×　
题组二　走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是(　　)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
[解析]　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．
题组三　走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)A．A1E⊥DC1　　B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1　　D．A1E⊥AC[解析]　∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．
4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________________________________.[解析]　由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．
若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)　
5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
[证明]　∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.
(2)(2019·陕西汉中质检一)已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l⊥α，m⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l⊥m，②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中所有正确的命题是(　　)A．①③　　B．①④C．②③　　D．①②③④
(3)(多选题)(2021·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是(　　)A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥n
[解析]　(1)由题知q能推出p：m⊥n.对A，当m∥n时仍然可以有m⊥α，n∥β，α⊥β.故A错误．对B，n⊥β，α∥β，则n⊥α，又m⊂α，则m⊥n.故B正确．对C，m⊥α，α∥β则m⊥β，又n⊥β，故m∥n.故C错误．对D，当α⊥β且相交于m时，若n∥m，也满足m⊂α，n∥β.故D错误．
(3)由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n相交，或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误，故选A、B、D．
解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．
〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是(　　)A．m⊥n，n⊂α　　B．m∥β，α⊥βC．n⊥α，n⊥β，m⊥β　　D．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n
(2)(2021·福建福州调研)已知两条直线m，n和两个平面α，β，下列命题正确的是(　　)A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA＝45°，∴AP＝AD．∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC．连接PM，CM，又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴Rt△PAM≌Rt△CBM.∴PM＝CM，又N为PC的中点，∴MN⊥PC．由①知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．
角度2　线、面垂直的性质(2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，△ACD是边长为1的等边三角形．证明：CD⊥B1D．
[证明]　∵△ACD是边长为1的等边三角形，∴∠ADC＝60°，∠DA1C1＝120°.∵D是AA1的中点，△ACD的边长为1，∴AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1D是等腰三角形，∴∠A1DC1＝30°，从而∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D．∵B1C1⊥平面AA1C1C，且CD⊂平面AA1C1C，∴B1C1⊥CD．∵B1C1∩C1D＝C1，B1C1⊂平面B1C1D，C1D⊂平面B1C1D，∴CD⊥平面B1C1D．∵B1D⊂平面B1C1D，∴CD⊥B1D．
1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质．(5)向量法：a⊥b⇔a·b＝0.
2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．(4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD．∠ADC＝60°，若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD．
[证明]　(1)证法1：∵AD＝2CD，∠ADC＝ 60°，∴DC⊥AC，又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥DC．∴DC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，∴DC⊥AC1，∵AA1＝AC，∴四边形AA1C1C为菱形，∴AC1⊥A1C，而DC∩A1C＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD．
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以OE⊥AC．因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1.又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
(2021·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．(1)求证：BE⊥平面PAD；(2)求点E到平面PAB的距离．
[解析]　(1)连接BD，在△PAD中，PA＝PD＝2，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，又∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BE⊥AD，又∵PE∩AD＝E，PE⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD．
(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)
[解析]　A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；
C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选ABD．
以B为焦点、CC1为准线的抛物线　
与BC距离为1的两条平行线　
立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．