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2022版新高考数学人教版一轮课件：第8章 第8讲 曲线与方程
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这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第8章 第8讲 曲线与方程，共60页。PPT课件主要包含了这个方程，曲线上，ACD，ABCD，x＋y－1＝0等内容，欢迎下载使用。
第八讲 曲线与方程(理)
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做_______的方程；这条曲线叫做_______的曲线.
知识点二 求动点的轨迹方程的基本步骤
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．求轨迹问题常用的数学（新高考）思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．
[解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
3．(选修2－1P37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是_________________________．
x2＋y2－4x＝0(y≠0)
(1)(2021·长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
[引申1]本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________________．[引申2]本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．[引申3]本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．[引申4]本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_____________．
定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
(2)(多选题)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是( )A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
(1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C过点A(0,2)且与直线y＝－2相切，则圆心C的轨迹方程为( )A．x2＝4yB．x2＝8yC．x2＝－4yD．x2＝－8y
(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8．①求动圆圆心的轨迹C的方程；②已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．
直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．
(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
〔变式训练3〕(1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律．
(2021·河北衡水中学调研)已知圆C1：x2＋y2＝2，圆C2：x2＋y2＝4，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．
[分析] 显然点P(x，y)的变动由∠AOD的大小α(或kOD)决定，故可通过α(或kOD)建立x，y间的关系，即点P的轨迹方程．
(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．
〔变式训练5〕若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为________________．
[解题关键] ①利用方程思想得出点P、Q的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG面积最值的关键．
第八讲 曲线与方程(理)
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做_______的方程；这条曲线叫做_______的曲线.
知识点二 求动点的轨迹方程的基本步骤
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．求轨迹问题常用的数学（新高考）思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．
[解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
3．(选修2－1P37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是_________________________．
x2＋y2－4x＝0(y≠0)
(1)(2021·长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
[引申1]本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________________．[引申2]本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．[引申3]本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．[引申4]本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_____________．
定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
(2)(多选题)(2021·湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是( )A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
(1)(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C过点A(0,2)且与直线y＝－2相切，则圆心C的轨迹方程为( )A．x2＝4yB．x2＝8yC．x2＝－4yD．x2＝－8y
(2)(2021·山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8．①求动圆圆心的轨迹C的方程；②已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．
直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合适的直角坐标系．(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．(3)化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．
(4)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
〔变式训练3〕(1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
代入法(相关点法)求轨迹方程(1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律．
(2021·河北衡水中学调研)已知圆C1：x2＋y2＝2，圆C2：x2＋y2＝4，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．
[分析] 显然点P(x，y)的变动由∠AOD的大小α(或kOD)决定，故可通过α(或kOD)建立x，y间的关系，即点P的轨迹方程．
(1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(2)参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关．
〔变式训练5〕若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A、B两点，则AB中点M的轨迹方程为________________．
[解题关键] ①利用方程思想得出点P、Q的坐标，进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG面积最值的关键．
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