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2022版新高考数学人教版一轮课件：第9章 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第9章 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，共55页。PPT课件主要包含了√√√等内容，欢迎下载使用。
第一讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝________________种不同的方法．知识点二 分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______________种不同的方法．
m1＋m2＋…＋mn
m1·m2·…·mn
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．( )(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
题组二 走进教材2．(P10练习T4)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )A．16B．13C．12D．10
3．(教材习题改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字，①其和为偶数的不同取法种数为_____；②能排成的两位偶数的个数为______．[解析] ①和为偶数的取法可分为两类：取两奇数或取两偶数，各有3种取法，故共有6种取法；②排成的两位偶数可分成三类：个位是0或2或4，显然个位为0的有5个，个位为2或4的各有4个，故共有13个．
题组三 走向高考4．(2020·新课标Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．
5．(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个．(用数字作答)
(1)(2020·常州模拟)已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )A．12对B．15对C．18对D．20对
(2)(2020·山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为( )A．70B．60C．50D．40(3)(2021·山东日照联考)要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为______．(用数字作答)
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24B．18C．12D．9
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_______种不同的报名方法．
[解析] (1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
[引申1]本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法[解析] 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．
[引申2]本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？[解析] 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．
[引申3]本例(1)中若去掉“先到F处与小红会合”，则最短路径的条数为______．
(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
〔变式训练1〕(1)(2021·厦门模拟)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种(用数字作答)．(2)(2021·湖南永州模拟)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有( )A．320种B．360种C．370种D．390种
角度1 与数字有关的问题 (2020·天津和平区二模)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( )A．512B．192C．240D．108
[引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为_______；(2)本例组成的四位数中偶数的个数为_______个，其中比2 310大的四位偶数的个数为_______个．
角度2 与涂色有关的问题 将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有( )A．48种B．72种C．96种D．108种
角度3 与几何有关的问题 (2018·上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A．4B．8C．12D．16
[解析] 根据正六边形的性质，则D1－A1ABB1，D1－A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E和D1一样，有2×4＝8，当A1ACC为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选D．
[引申]①本例中若去掉“以AA1为底面矩形的一边”，则阳马的个数为______个．②以六棱柱的顶点为顶点的四棱锥有_______个．[解析] ①矩形在棱柱底面上的阳马有24个；矩形为棱柱侧面的阳马有24个；矩形为棱柱对角面的阳马有24个；故共有72个．
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1．弄清完成一件事是做什么．2．确定是先分类后分步，还是先分步后分类．3．弄清分步、分类的标准是什么．4．利用两个计数原理求解．注意：(1)相同元素不加区分；(2)数字问题中0不能排在数的首位．
〔变式训练2〕(1)(角度2)(2021·宁波模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A．24种B．48种C．72种D．96种
(2)(角度1)(2020·四川成都青羊区模拟)由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有( )个( )A．10B．11C．12D．13(3)(角度3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A．60B．48C．36D．24
(2)千位数字为3时满足题意的数字个数为：3！＝6．千位数字为2时，只有2 013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3！－1＝5，综上可得：比2 019大的有6＋5＝11个．(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48．
(1)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是_______．
巧用图表法、间接法求解计数问题
(2)(2021·吉林模拟)一只蚂蚁从正四面体A－BCD的顶点A出发，沿着正四面体A－BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有( )A．6条B．7条C．8条D．9条
(3)(2021·济南模拟)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有______种．
(1)当问题中涉及到的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题；(2)当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解．即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数．
〔变式训练3〕(1)(2021·保定质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A．4种B．6种C．10种D．16种
(2)(2021·江苏淮阴淮安中学测试)若把单词“errr”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为( )A．17B．18C．19D．20
第一讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝________________种不同的方法．知识点二 分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______________种不同的方法．
m1＋m2＋…＋mn
m1·m2·…·mn
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．( )(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
题组二 走进教材2．(P10练习T4)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )A．16B．13C．12D．10
3．(教材习题改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字，①其和为偶数的不同取法种数为_____；②能排成的两位偶数的个数为______．[解析] ①和为偶数的取法可分为两类：取两奇数或取两偶数，各有3种取法，故共有6种取法；②排成的两位偶数可分成三类：个位是0或2或4，显然个位为0的有5个，个位为2或4的各有4个，故共有13个．
题组三 走向高考4．(2020·新课标Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．
5．(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个．(用数字作答)
(1)(2020·常州模拟)已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )A．12对B．15对C．18对D．20对
(2)(2020·山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为( )A．70B．60C．50D．40(3)(2021·山东日照联考)要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为______．(用数字作答)
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24B．18C．12D．9
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_______种不同的报名方法．
[解析] (1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
[引申1]本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法[解析] 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．
[引申2]本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？[解析] 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．
[引申3]本例(1)中若去掉“先到F处与小红会合”，则最短路径的条数为______．
(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
〔变式训练1〕(1)(2021·厦门模拟)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种(用数字作答)．(2)(2021·湖南永州模拟)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有( )A．320种B．360种C．370种D．390种
角度1 与数字有关的问题 (2020·天津和平区二模)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( )A．512B．192C．240D．108
[引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为_______；(2)本例组成的四位数中偶数的个数为_______个，其中比2 310大的四位偶数的个数为_______个．
角度2 与涂色有关的问题 将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有( )A．48种B．72种C．96种D．108种
角度3 与几何有关的问题 (2018·上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A．4B．8C．12D．16
[解析] 根据正六边形的性质，则D1－A1ABB1，D1－A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E和D1一样，有2×4＝8，当A1ACC为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选D．
[引申]①本例中若去掉“以AA1为底面矩形的一边”，则阳马的个数为______个．②以六棱柱的顶点为顶点的四棱锥有_______个．[解析] ①矩形在棱柱底面上的阳马有24个；矩形为棱柱侧面的阳马有24个；矩形为棱柱对角面的阳马有24个；故共有72个．
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1．弄清完成一件事是做什么．2．确定是先分类后分步，还是先分步后分类．3．弄清分步、分类的标准是什么．4．利用两个计数原理求解．注意：(1)相同元素不加区分；(2)数字问题中0不能排在数的首位．
〔变式训练2〕(1)(角度2)(2021·宁波模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A．24种B．48种C．72种D．96种
(2)(角度1)(2020·四川成都青羊区模拟)由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有( )个( )A．10B．11C．12D．13(3)(角度3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A．60B．48C．36D．24
(2)千位数字为3时满足题意的数字个数为：3！＝6．千位数字为2时，只有2 013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3！－1＝5，综上可得：比2 019大的有6＋5＝11个．(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48．
(1)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是_______．
巧用图表法、间接法求解计数问题
(2)(2021·吉林模拟)一只蚂蚁从正四面体A－BCD的顶点A出发，沿着正四面体A－BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有( )A．6条B．7条C．8条D．9条
(3)(2021·济南模拟)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有______种．
(1)当问题中涉及到的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题；(2)当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解．即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数．
〔变式训练3〕(1)(2021·保定质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A．4种B．6种C．10种D．16种
(2)(2021·江苏淮阴淮安中学测试)若把单词“errr”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为( )A．17B．18C．19D．20
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