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所属成套资源：2022版新高考数学人教版一轮课件（共72份）
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2022版新高考数学人教版一轮课件：第9章 第2讲 排列与组合
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这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第9章 第2讲 排列与组合，共60页。PPT课件主要包含了第二讲排列与组合，所有不同排列，合成一组，所有不同组合等内容，欢迎下载使用。
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 排列与排列数(1)排列的定义：从n个________元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
知识点二 组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个________元素中取出m(m＜n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
× × √ √ × √
题组二 走进教材2．(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144B．120C．72D．24
题组三 走向高考3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种
4．(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__________(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__________(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__________(4)全体排成一排，女生必须站在一起；_______
(5)全体排成一排，男生互不相邻；__________(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；_______(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__________(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__________
[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有_______种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有_______种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有_______种．
求解排列应用问题的6种主要方法
〔变式训练1〕(1)(2021·广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有______种不同的调度方法．(用数字填写答案)
(2)(2020·广西兴宁、南宁三中期末)2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为( )A．36种B．48种C．56种D．72种
(1)(2021·广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85B．49C．56D．28
(2)(2021·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有( )A．15种B．18种C．20种D．22种
[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有______种；②甲、乙都不入选的选法有______种．
组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
〔变式训练2〕(1)(2020·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A．10B．15C．20D．24
(2)(2021·江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A．30B．60C．90D．120
角度1 相邻、相间问题 (1)(2021·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_______种．
(2)(2021·湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( )A．16B．24C．8D．12
角度2 特殊元素(位置)问题 (1)(2021·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A．48B．72C．90D．96
(2)(2021·山东质检)高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育．其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有_____种．
(2)由于四个元素都有特殊要求，不宜从排列、组合数公式入手，列表法为佳，如： 第一节 第二节 第三节 第四节数学语文——体育——英语英语——体育——语文体育——语文——英语同理第一节排英语、体育也都有3种排法，故共有9种排法．
[引申]本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为______．
角度3 分组、分配问题 (1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；______②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；_______③平均分成三份，每份2本；______④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；______；
⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；______⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；______⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．______(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有______种．②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有______种．
解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．
注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．
隔板法的解题步骤(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．
〔变式训练3〕(1)(角度1)(2021·山西联考)某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种．(2)(角度2)(2021·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．36种B．42种C．48种D．60种
(3)(角度3)(2021·浙江绍兴柯桥中学测试)为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有_______种．
1．限制条件的分配问题分类法： 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
排列组合的其它类型及解法
2．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计．3．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
4．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法： (2020·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有______种不同的抽调方法．
5．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法． (1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
6．部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求． 四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A．150种B．147种C．144种D．141种
7．圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1，a2，a3，…，an；a2，a3，a4，…，an，a1；a3，a4，…，an，a1，a2；…在圆排中是同一排法．8．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：
设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一 排列与排列数(1)排列的定义：从n个________元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
知识点二 组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个________元素中取出m(m＜n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
× × √ √ × √
题组二 走进教材2．(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144B．120C．72D．24
题组三 走向高考3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种
4．(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__________(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__________(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__________(4)全体排成一排，女生必须站在一起；_______
(5)全体排成一排，男生互不相邻；__________(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；_______(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；__________(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__________
[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有_______种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有_______种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有_______种．
求解排列应用问题的6种主要方法
〔变式训练1〕(1)(2021·广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有______种不同的调度方法．(用数字填写答案)
(2)(2020·广西兴宁、南宁三中期末)2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为( )A．36种B．48种C．56种D．72种
(1)(2021·广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85B．49C．56D．28
(2)(2021·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有( )A．15种B．18种C．20种D．22种
[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有______种；②甲、乙都不入选的选法有______种．
组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
〔变式训练2〕(1)(2020·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A．10B．15C．20D．24
(2)(2021·江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A．30B．60C．90D．120
角度1 相邻、相间问题 (1)(2021·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_______种．
(2)(2021·湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( )A．16B．24C．8D．12
角度2 特殊元素(位置)问题 (1)(2021·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A．48B．72C．90D．96
(2)(2021·山东质检)高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育．其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有_____种．
(2)由于四个元素都有特殊要求，不宜从排列、组合数公式入手，列表法为佳，如： 第一节 第二节 第三节 第四节数学语文——体育——英语英语——体育——语文体育——语文——英语同理第一节排英语、体育也都有3种排法，故共有9种排法．
[引申]本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为______．
角度3 分组、分配问题 (1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；______②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；_______③平均分成三份，每份2本；______④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；______；
⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；______⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；______⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．______(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有______种．②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有______种．
解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．
注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．
隔板法的解题步骤(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．
〔变式训练3〕(1)(角度1)(2021·山西联考)某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种．(2)(角度2)(2021·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．36种B．42种C．48种D．60种
(3)(角度3)(2021·浙江绍兴柯桥中学测试)为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有_______种．
1．限制条件的分配问题分类法： 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
排列组合的其它类型及解法
2．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计．3．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
4．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法： (2020·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有______种不同的抽调方法．
5．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法． (1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
6．部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求． 四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A．150种B．147种C．144种D．141种
7．圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1，a2，a3，…，an；a2，a3，a4，…，an，a1；a3，a4，…，an，a1，a2；…在圆排中是同一排法．8．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：
设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
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