沪科版九年级上册21.2 二次函数的图象和性质巩固练习

课时训练（二）

【21.2  第二课时 二次函数的图象和性质】

基础闯关                                                  务实基础  达标检测

一、选择题

1．已知抛物线y＝x2与y＝－x2，下列说法中不正确的是(　　)

A．顶点相同   B．对称轴相同

C．开口方向相反  D．都经过点(1，1)

解析：抛物线y＝x2经过点(1，1)，而抛物线y＝－x2不经过点(1，1)．故选D

2．在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（    ）．

A．关于y轴对称，抛物线的开口向上          B．关于y轴对称，抛物线的开口向下

C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点      D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点

解析：y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．故选D

3．汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(    )．

    A．40 m/s      B．20m/s      C．10 m/s     D．5 m/s

解析：当y＝5时，x2＝100，x＝10．故选C

4．如图，是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过的象限是(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析：由题图可知a>0，h<0，所以直线y＝ax＋h不经过第二象限．故选B

5．已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（    ）

A．m＞3    B．m≥3

C．m≤3    D．m＜3

解析：由题意可知，当x＞0时，函数y随x的增大而减小，故m－3＜0，则m＜3.

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是(　　)

A．h>0，k>0 

B．h<0，k>0

C．h<0，k<0 

D．h>0，k<0

解析： 根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h，k)，而由题图可知顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h>0，k>0.故选A.

7．已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是(　　)

A．－1     B．－1或5

C．5      D．－5

解析： 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小．

①若取值范围在函数图象对称轴的右边，即h＜1≤x≤3，则当x＝1时，y取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h1＝－1，h2＝3(舍去)；

②若取值范围在对称轴的左边，即1≤x≤3＜h，则当x＝3时，y取得最小值5，可得(3－h)2＋1＝5，解得h1＝5，h2＝1(舍去)；

③若1≤h≤3，则函数y的最小值为1，不符合题意．

综上可得，h的值为－1或5.故选B

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝(x－2)2－4，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为(　　)

A．1    B．2    C．4    D．8

解析： 如图，过点B作BA⊥y轴于点A，由题意可知四边形ABCO为矩形，且点B的坐标为(2，－4)，则S矩形ABCO＝S阴影＝AB×BC＝2×4＝8.

二、填空题

9.二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．

解析：由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．

10．已知二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为             .

解析：先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线上，所以

，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).

11．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为(0，－2)，则它的表达式为________________________．

解析：二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同，说明它们的二次项系数的绝对值相等，故本题有两种可能，即y＝3x2－2或y＝－3x2－2.

三、解答题

12．把抛物线y＝a(x＋h)2＋k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－1.

（1）试确定a，h，k的值；

（2）若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．

解析：（1）∵把抛物线y＝a(x＋h)2＋k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线

y＝(x＋1)2－1，∴a＝，－h＝－1＋2，k＝－1－4.

故a＝，h＝－1，k＝－5.

（2）由（1）得抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－5，

∴顶点坐标为(1，－5)．

∵点(1，－5)关于x轴对称的点的坐标为(1，5)，且所得抛物线的开口方向与原抛物线相反，

∴所得抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋5.

13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．

解析：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），

把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=2，c=4，

则解析式为y=﹣x2+2x+4；

（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，

∴抛物线顶点坐标为（2，6），

则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．

（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．

（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．

（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（1）由二次函数y＝ax2＋b的最大值为4可知b＝4.

∵函数的图象经过点A(1，3)，

∴3＝a＋4，解得a＝－1.

故该二次函数的表达式为y＝－x2＋4，顶点D的坐标为(0，4)．

（2）y＝x2－4.

（3）存在．假设存在点B(x，y)，使得S△DOB＝2S△AOD，

∴OD·|x|＝2×OD×1，

解得x＝±2.

①当x＝2时，则y＝－x2＋4＝0；

②当x＝－2时，则y＝－x2＋4＝0.

∴存在满足条件的点B，它的坐标为(2，0)或(－2，0)．

2. 如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．

（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

解析：（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．

           ∴ 该二次函数的解析式为．

           ∵ ，

∴ 顶点坐标为．

       （2）（答案不唯一，合理即正确）

            如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，

            得到二次函数解析式为，即．