初中人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试当堂达标检测题

这是一份初中人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试当堂达标检测题，共13页。试卷主要包含了若x＝1是方程，一元二次方程x，关于x的方程a等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程单元测试
一．选择题（共7小题）
1．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．若x＝1是方程（m+2）x2﹣2x+m2﹣2m﹣6＝0（m为常数）的根，则m的值为（　　）
A．﹣2或3 B．﹣2 C．3 D．1
3．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x＝0
4．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
5．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．﹣2或1 B．﹣4或﹣1 C．1或3 D．无法求解
6．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（　　）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
二．填空题（共7小题）
8．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根为　 　．
9．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝　 　．
10．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为　 　．
11．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0有一个根是0，那么m的值为　 　．

12．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　 　个人．
13．如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是　 　．
14．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为　 　（不增加其它未知数）．
三．解答题（共6小题）
15．解方程：3（y﹣3）2＝2（3﹣y）．






16．（3x﹣1）2＝（x+1）2．





17．解方程：4（x+3）2＝25（x﹣2）2．








18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．







19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围．






20．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．

一元二次方程单元测试
一．选择题（共7小题）
1．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】把x＝3代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9+3k+3＝0，
移项合并得：3k＝﹣12，
解得：k＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．若x＝1是方程（m+2）x2﹣2x+m2﹣2m﹣6＝0（m为常数）的根，则m的值为（　　）
A．﹣2或3 B．﹣2 C．3 D．1
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可．
【解答】解：把x＝1代入（m+2）x2﹣2x+m2﹣2m﹣6＝0，得（m+2）﹣2+m2﹣2m﹣6＝0．
解得m1＝﹣2，m2＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x＝0
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣3）＝x﹣3，
∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】将c＝﹣a﹣b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．
【解答】解：依题意，得c＝﹣a﹣b，
原方程化为ax2+bx﹣a﹣b＝0，
即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（ax+a+b）＝0，
∴x＝1为原方程的一个根，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义．方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．
5．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．﹣2或1 B．﹣4或﹣1 C．1或3 D．无法求解
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝﹣2或x+2＝1，
解得x＝﹣4或x＝﹣1．
故方程a（x+m+2）2+b＝0的解为x1＝﹣4，x2＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
6．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
【分析】根据关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，可以得到a+2a+1＝0，然后即可得到a的值．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，
∴a+2a+1＝0，
∴3a+1＝0，
解得a＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（　　）
A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
【分析】设年平均增长率为x，根据2017年及2019年的全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，
则可列出关于x的方程为2.44（1+x）2＝6.72，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
8．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根为　　．
【分析】首先计算出△＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，然后利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式直接求解．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×1＝5，
x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式为x＝（b2﹣4ac≥0）．
9．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝　﹣　．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：根据题意得a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，
解得a＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
10．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+c＝0，则方程必有一根为　﹣3　．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
11．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0有一个根是0，那么m的值为　4　．
【分析】先把x＝0代入（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0得m2﹣7m+12＝0，再解关于m的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0得m2﹣7m+12＝0，
解得m1＝4，m2＝3，
∵m﹣3≠0，
∴m的值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
12．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　12　个人．
【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
13．如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是　k≤　．
【分析】如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，那么方程3x2﹣4x+2k＝0有实数根，由此得到Δ＝b2﹣4ac≥0，从而得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣4，c＝2k，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣4）2﹣4×3×2k
＝16﹣24k≥0，
解得k≤．
故填空答案：k≤．
【点评】如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积的形式，那么方程3x2﹣4x+2k＝0有实数根，即Δ＝b2﹣4ac≥0．
14．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为　3000（1+x）2＝5000　（不增加其它未知数）．
【分析】若这种商品的年平均增长率为x，根据现在生产1吨某产品的成本是3000元，两年后生产1吨药品的成本是5000元可列方程．
【解答】解：设这种商品的年平均增长率为x，
3000（1+x）2＝5000．
故答案为：3000（1+x）2＝5000．
【点评】本题考查增长率问题，发生了两年变化，知道现在为3000，两年后为5000，设出增长率即可列出方程．
三．解答题（共6小题）
15．解方程：3（y﹣3）2＝2（3﹣y）．
【分析】先移项，再利用因式分解的提公因式法求解．
【解答】解：3（y﹣3）2＝2（3﹣y），
3（3﹣y）2﹣2（3﹣y）＝0，
（3﹣y）[3（3﹣y）﹣2]＝0，
即（3﹣y）（7﹣3y）＝0，
所以3﹣y＝0或7﹣3y＝0．
解得y1＝3，y2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解决本题的关键．
16．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】此题考查了用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
17．解方程：4（x+3）2＝25（x﹣2）2．
【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：4（x+3）2＝25（x﹣2）2，
开方得：2（x+3）＝±5（x﹣2），
解得：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．

（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（5m+1）]2﹣4（4m2+m）＝（3m+1）2，
∵（3m+1）2是非负数，
∴△≥0．
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）解：解关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m＝0得到，
x＝或，
∴x1＝4m+1，x2＝m．
则由题意，得或，
解得，＜m＜8，
即m的取值范围是＜m＜8．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组．
20．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若k＝1，求该方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程x2+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0．
∴20﹣4k＞0，
解得k＜5；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
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日期：2021/9/19 13:32:46；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111