数学必修 第二册6.2 平面向量的运算同步测试题

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算同步测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若点O为平行四边形ABCD的中心，eq \(AB,\s\up7(→))＝2e1，eq \(BC,\s\up7(→))＝3e2，则eq \f(3,2)e2－e1＝( )
A．eq \(BO,\s\up7(→)) B．eq \(AO,\s\up7(→)) C．eq \(CO,\s\up7(→)) D．eq \(DO,\s\up7(→))
A [eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝3e2－2e1，eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(3,2)e2－e1．]
2．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n
AB [A正确；B正确；C错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b；D错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n．]
3．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up7(→))＝3a，eq \(CD,\s\up7(→))＝－5a，且|eq \(AD,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
C [由条件可知eq \(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(3,5)eq \(CD,\s\up7(→))，∴AB∥CD，又因为|eq \(AD,\s\up7(→))|＝|eq \(BC,\s\up7(→))|，所以四边形ABCD为等腰梯形．]
4．若点M是△ABC所在平面内的一点，满足eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，则eq \f(|\(MB,\s\up7(→))|,|\(MC,\s\up7(→))|)＝( )
A．eq \f(1,4) B．4 C．eq \f(1,3) D．3
C [∵eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)(eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→)))＋eq \f(1,4)(eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(MC,\s\up7(→))
＝eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(MB,\s\up7(→))＋\f(1,4)\(MC,\s\up7(→))))，
∴eq \f(3,4)eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(MC,\s\up7(→))＝0，得eq \f(|\(MB,\s\up7(→))|,|\(MC,\s\up7(→))|)＝eq \f(1,3)．
故选C．]
5．设a，b不共线，eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋kb，eq \(AC,\s\up7(→))＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( )
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
B [若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AC,\s\up7(→))共线，
所以存在唯一实数λ，使eq \(AB,\s\up7(→))＝λeq \(AC,\s\up7(→))，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λm＝1，,λ＝k，))所以km＝1，即km－1＝0．]
二、填空题
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
4b－3a [由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a．]
7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若eq \(OA,\s\up7(→))－3eq \(OB,\s\up7(→))＋2eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则eq \f(|\(AB,\s\up7(→))|,|\(BC,\s\up7(→))|)＝________．
2 [∵eq \(OA,\s\up7(→))－3eq \(OB,\s\up7(→))＋2eq \(OC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝2(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))，∴eq \(AB,\s\up7(→))＝2eq \(BC,\s\up7(→))，
∴eq \f(|\(AB,\s\up7(→))|,|\(BC,\s\up7(→))|)＝2．]
8．已知在△ABC中，点M满足eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝0，若存在实数m使得eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))成立，则m＝________．
3 [∵eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝－eq \(MA,\s\up7(→))，
又由eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))得(Meq \(B,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→)))－2eq \(MA,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))，
即－3eq \(MA,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))＝－meq \(MA,\s\up7(→))，所以m＝3．]
三、解答题
9．如图，平行四边形OADB中，向量eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，且eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(CN,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up7(→))，试用a，b表示eq \(OM,\s\up7(→))，eq \(ON,\s\up7(→))，eq \(MN,\s\up7(→))．
[解] ∵eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))＝a－b，
∴eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \f(1,6)(a－b)，
∴eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(BM,\s\up7(→))＝b＋eq \f(1,6)(a－b)＝b＋eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b．
由eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＝a＋b，
得eq \(ON,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b，
eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(ON,\s\up7(→))－eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(2,3)b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)a＋\f(5,6)b))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b．
1．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C [eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|)；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|)；对于C，当a＝2b时，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时eq \f(a,|a|)≠eq \f(b,|b|)．综上所述，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的条件是a＝2b，选C．]
2．(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC中，O，H，G分别是外心，垂心和重心，D为BC边的中点，下列四个选项中正确的是( )
A．GH＝2OG B．eq \(GA,\s\up7(→))＋eq \(GB,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))＝0
C．AH＝2OD D．S△ABG＝S△BCG＝S△ACG
ABCD [在△ABC中，O，H，G分别是外心，垂心和重心，画出图形，如图所示．
对于B，根据三角形的重心性质得eq \(GA,\s\up7(→))＋eq \(GB,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))＝0，选项B正确；
对于A，C，∵AH∥OD，∴△AHG∽△DOG，∴eq \f(GH,OG)＝eq \f(AH,OD)＝eq \f(AG,DG)＝2，∴GH＝2OG，AH＝2OD，选项A，C正确；
对于D，过点G作GE⊥BC，垂足为E，∴△DEG∽△DNA，则eq \f(GE,AN)＝eq \f(DG,DA)＝eq \f(1,3)，∴△BGC的面积为S△BGC＝eq \f(1,2)×BC×GE＝eq \f(1,2)×BC×eq \f(1,3)×AN＝eq \f(1,3)S△ABC．
同理，S△AGC＝S△AGB＝eq \f(1,3)S△ABC，选项D正确．]
3．如图，ABCD是一个梯形，eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(CD,\s\up7(→))且|eq \(AB,\s\up7(→))|＝2|eq \(CD,\s\up7(→))|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq \(AB,\s\up7(→))＝e1，eq \(AD,\s\up7(→))＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)eq \(AC,\s\up7(→))＝________；
(2)eq \(MN,\s\up7(→))＝________．
(1)e2＋eq \f(1,2)e1 (2)eq \f(1,4)e1－e2 [因为eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(CD,\s\up7(→))，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝2|eq \(CD,\s\up7(→))|，所以eq \(AB,\s\up7(→))＝2eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))．
(1)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＝e2＋eq \f(1,2)e1．
(2)eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MD,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(AN,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,4)e1－e2＋eq \f(1,2)e1＝eq \f(1,4)e1－e2．]
4．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若eq \(AE,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))，则t＝λ－μ的最大值是________．
3 [因为eq \(AE,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))共线，设eq \(AE,\s\up7(→))＝keq \(AD,\s\up7(→))(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则eq \(AD,\s\up7(→))＝2eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(AE,\s\up7(→))＝2keq \(AB,\s\up7(→))－keq \(AC,\s\up7(→))，
又eq \(AE,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2k，,μ＝－k，))∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3．]
设eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))不共线，且eq \(OC,\s\up7(→))＝aeq \(OA,\s\up7(→))＋beq \(OB,\s\up7(→))(a，b∈R)．
(1)若a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
[解] (1)证明：当a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)时，
eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(→))，
所以eq \f(2,3)(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))，
即2eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))，
所以eq \(BC,\s\up7(→))与eq \(CA,\s\up7(→))共线，又eq \(BC,\s\up7(→))与eq \(CA,\s\up7(→))有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以eq \(AC,\s\up7(→))∥eq \(AB,\s\up7(→))，
不妨设eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，所以eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝λ(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))，
即eq \(OC,\s\up7(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up7(→))＋λeq \(OB,\s\up7(→))，
又eq \(OC,\s\up7(→))＝aeq \(OA,\s\up7(→))＋beq \(OB,\s\up7(→))，且eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))不共线，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1－λ，,b＝λ，))所以a＋b＝1(定值)．