人教A版 (2019)第七章 复数7.2 复数的四则运算课时作业

这是一份人教A版 (2019)第七章 复数7.2 复数的四则运算课时作业，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
A [依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1．]
2．已知复数z满足z＋3i－3i2＝3－3i，则z＝( )
A．0 B．－6i C．6 D．6－6i
B [∵z＋3i－3i2＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i＋3)＝－6i．]
3．在复平面内，O是坐标原点，向量eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么eq \(BC,\s\up7(→))对应的复数为( )
A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i
C [由题意得eq \(OA,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(3,2)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,5)，所以eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AO,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝－eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝(－1，－5)＋(2，－1)＋(3,2)＝(4，－4)，所以eq \(BC,\s\up7(→))对应的复数为4－4i，故选C．]
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
D [z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i．∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1．]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图
所示，则|z－2－2i|＝eq \r(x－22＋y－22)表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3．]
二、填空题
6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．
3 [由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－3＝0，,a2－1≠0，))
解得a＝3．]
7．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________．
－1＋10i [∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝5，,2－y＝－6，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8，))
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i．]
8．若复数z满足z＋|z|＝5＋eq \r(3)i，则复数z＝________．
eq \f(11,5)＋eq \r(3)i [因为z＋|z|＝5＋eq \r(3)i，所以z的虚部为eq \r(3)．设z＝a＋eq \r(3)i(a∈R)，则a＋eq \r(a2＋3)＝5，解得a＝eq \f(11,5)，所以z＝eq \f(11,5)＋eq \r(3)i．]
三、解答题
9．计算：
(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)；
(2)4－(5＋12i)－i；
(3)若z－(－3＋5i)＝－2＋6i，求复数z．
[解] (1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i．
(2)4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i．
(3)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z－(－3＋5i)＝－2＋6i，所以(x＋yi)－(－3＋5i)＝－2＋6i，
即(x＋3)＋(y－5)i＝－2＋6i，因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝－2，,y－5＝6，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝11，))于是z＝－5＋11i．
法二：由z－(－3＋5i)＝－2＋6i
可得z＝－2＋6i＋(－3＋5i)，
所以z＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i．
10．已知复数z1＝eq \r(2a＋1)＋aieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a∈R且a≥－\f(1,2)))，若复数z＝z1－|z1|＋1－i在复平面内所对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
[解] 因为z1＝eq \r(2a＋1)＋ai，
所以|z1|＝eq \r(a2＋2a＋1)＝|a＋1|．
又a≥－eq \f(1,2)，所以|a＋1|＝a＋1，
所以z＝eq \r(2a＋1)＋ai－(a＋1)＋1－i＝eq \r(2a＋1)－a＋(a－1)i．
因为z＝z1－|z1|＋1－i在复平面内所对应的点在第二象限，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2a＋1)－a＜0，,a－1＞0，,a≥－\f(1,2)，))解得a＞1＋eq \r(2)，
所以实数a的取值范围为(1＋eq \r(2)，＋∞)．
1．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A．若复数z满足|z－i|＝eq \r(5)，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，eq \r(5)为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为eq \(OZ1,\s\up7(→))，复数z2对应的向量为eq \(OZ2,\s\up7(→))，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则eq \(OZ1,\s\up7(→))⊥eq \(OZ2,\s\up7(→))
CD [满足|z－i|＝eq \r(5)的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，eq \r(5)为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2)．由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－15，,b＝8.))
∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．]
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1 C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(1,2)
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为eq \f(\r(2),2)．]
3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________．
eq \f(7,6)－4i [设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(a2＋b2)－3，,b＝－4，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(7,6)，,b＝－4，))所以z＝eq \f(7,6)－4i．]
4．已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1，则|z1＋z2|＝________．
eq \r(3) [如图，设eq \(OA,\s\up7(→))对应的复数为z1，eq \(OB,\s\up7(→))对应的复数为z2．
由|z1|＝|z2|知，以|eq \(OA,\s\up7(→))|，|eq \(OB,\s\up7(→))|为邻边的平行四边形OACB是菱形，向量eq \(BA,\s\up7(→))表示的复数为z1－z2，
∴|eq \(BA,\s\up7(→))|＝|z1－z2|＝1，则△AOB为等边三角形，
∴∠AOC＝30°，∴|eq \(OD,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(3),2)，∴|eq \(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(3)．
∵eq \(OC,\s\up7(→))表示的复数为z1＋z2，∴|z1＋z2|＝eq \r(3)．]
在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
[解] (1)eq \(AB,\s\up7(→))对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
eq \(BC,\s\up7(→))对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
eq \(AC,\s\up7(→))对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i．
(2)∵|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(10)，|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(8)＝2eq \r(2)，
∴|eq \(AB,\s\up7(→))|2＋|eq \(AC,\s\up7(→))|2＝|eq \(BC,\s\up7(→))|2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(2)＝2．