数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第1课时达标测试

这是一份数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第1课时达标测试，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为( )
A．8eq \r(6)π B．4eq \r(6)π C．4eq \r(2)π D．eq \f(2\r(2),3)π
D [设圆锥的高为h，母线为l，则侧面积为πrl，底面积为πr2，
由侧面积是底面积的3倍，得，π×1×l＝3π×12，
解得l＝3，h＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2)，
故该圆锥的体积为eq \f(1,3)×π×12×2eq \r(2)＝eq \f(2\r(2),3)π．
故选：D．]
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．8
C [圆台的轴截面如图，
由题意知，l＝eq \f(1,2)(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，
∴l＝4．]
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
A [设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r．由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．]
4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为( )
A．2eq \r(10) B．2eq \r(5) C．3 D．2
A [圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝eq \r(22＋62)＝2eq \r(10)．故选A．
]
5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )
A．1∶3 B．1∶ (eq \r(3)－1)
C．1∶9 D．eq \r(3)∶2
B [由面积比为1∶3，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1∶eq \r(3)，故截面把圆锥母线分为1∶(eq \r(3)－1)两部分，故选B．]
二、填空题
6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
2 [设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr．解得r＝1，即直径为2．]
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
3 [圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为eq \f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]
8．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________．
eq \f(7 000π,3)eq \r(3) cm3 [180°＝eq \f(20－10,l)×360°，∴l＝20，h＝10eq \r(3)，V＝eq \f(1,3)π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋r1r2)·h＝eq \f(7 000\r(3)π,3) (cm3)．]
三、解答题
9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
[解] 设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝eq \f(1,3)πl，得l＝6r．
又S圆锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq \r(\f(15,7))，
圆锥的高h＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6×\r(\f(15,7))))eq \s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(15,7))))eq \s\up12(2))＝5eq \r(3)，
V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×eq \f(15,7)×5eq \r(3)＝eq \f(25\r(3),7)π．
10．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？
[解] 因为圆锥形铅锤的体积为eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))eq \s\up12(2)×20＝60π(cm3)，设水面下降的高度为x cm，则小圆柱的体积为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,2)))eq \s\up12(2)x＝100πx．
所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6．
故杯里的水将下降0.6 cm．
1．已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是( )
A．eq \f(C3,4πS) B．eq \f(4πS,C3)
C．eq \f(CS,2π) D．eq \f(SC,4π)
D [设圆柱底面半径为r，高为h，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ch＝S，,C＝2πr，))
∴r＝eq \f(C,2π)，h＝eq \f(S,C)．
∴V＝πr2·h＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C,2π)))eq \s\up12(2)·eq \f(S,C)＝eq \f(SC,4π)．]
2．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b．那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
eq \f(πr2a＋b,2) [采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝eq \f(πr2a＋b,2)．]
3．圆柱内有一个内接长方体ABCD­A1B1C1D1，长方体的体对角线长是10eq \r(2) cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的底面半径为________cm，高为________cm．
5 10 [设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r2＋h2＝10\r(2)2，,2πrh＝100π，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝5，,h＝10.))
即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm．]
4．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq \r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．
[解] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S．
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)．
如图所示，
易知△AEB∽△AOC，
所以eq \f(AE,AO)＝eq \f(EB,OC)，即eq \f(\r(3),2\r(3))＝eq \f(r,2)，所以r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq \r(3)π．
所以S＝S底＋S侧＝2π＋2eq \r(3)π＝(2＋2eq \r(3))π．
某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
[解] (1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2．
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,2)))eq \s\up12(2)×4＝eq \f(256,3)π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,2)))eq \s\up12(2)×8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2．
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5)(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4eq \r(5))＝(64＋32eq \r(5))π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝eq \r(82＋62)＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)＝96π(m2)．
(3)因为V2>V1，S2