高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第2课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第2课时练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )
A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
D [由eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π·63＋eq \f(4,3)π·83＋eq \f(4,3)π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12．]
2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )
A．eq \f(\r(6π),6) B．eq \f(\r(π),2) C．eq \f(\r(2π),2) D．eq \f(3\r(π),2π)
A [设正方体棱长为a，球半径为R，由6a2＝4πR2得eq \f(a,R)＝eq \r(\f(2π,3))，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,4π)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(2π,3))))eq \s\up12(3)＝eq \f(\r(6π),6)．]
3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．2π B．3π C．4π D．6π
B [由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S＝π×12＋eq \f(1,2)×4×π×12＝3π．]
4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( )
A．eq \f(16π,3) B．eq \f(4π,3) C．eq \f(32π,3) D．4π
B [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4π,3)．]
5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B．eq \f(3π,4) C．eq \f(π,2) D．eq \f(π,4)
B [设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)．
∴圆柱的体积为V＝πr2h＝eq \f(3,4)π×1＝eq \f(3π,4)．
故选B．]
二、填空题
6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
3 [设此球的半径为R，则4πR2＝eq \f(4,3)πR3，R＝3．]
7．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，过点H的平面截球O所得截面圆的圆心为点H，且截面圆的面积为4π，则球O的表面积为________．
18π [设球O的半径为R．∵AH∶HB＝1∶2，∴截面与球心O的距离为eq \f(1,3)R．∵截面圆的面积为4π，∴截面圆的半径r＝2，∴R2＝22＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)R))eq \s\up12(2)，∴R2＝eq \f(9,2)，∴球O的表面积S＝4πR2＝18π．]
8．圆柱形容器内盛有高为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm．
4 [设球的半径为r cm，则3×eq \f(4,3)πr3＋πr2×8＝πr2×6r，解得r＝4．]
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
[解] 该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
该组合体的体积V＝eq \f(4,3)πr3＋πr2l＝eq \f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq \f(13π,3)．
10．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
[解] 因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°．
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，
也是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，
设O′C＝r，OC＝R，
则球半径为R，截面圆半径为r，
在Rt△O′CO中，
由题设知sin∠O′CO＝eq \f(OO′,OC)＝eq \f(1,2)，
所以∠O′CO＝30°，所以eq \f(r,R)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，
即R＝eq \f(2,\r(3))r，(*)
又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10eq \r(3)．
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10eq \r(3))2＝1 200π．
球的体积为V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(10eq \r(3))3＝4 000eq \r(3)π．
1．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为( )
A．153π B．160π C．169π D．360π
C [由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝eq \f(1,2)eq \r(32＋42＋122)＝eq \f(13,2)，所以球O的表面积S＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))eq \s\up12(2)＝169π，故选C．]
2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为( )
A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
C [画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°．又∠PCB＝90°，∴CB＝eq \f(\r(3),3)PC＝eq \r(3)r，PB＝2eq \r(3)r，∴圆锥的侧面积S1＝π×eq \r(3)r×2eq \r(3)r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2．]
3．在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球． 若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
eq \f(9π,2) [当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径
r＝eq \f(6＋8－10,2)＝2，直径为4>侧棱． 所以球的最大直径为3，半径为eq \f(3,2)，此时体积V＝eq \f(9π,2)．]
4．已知体积为eq \r(3)的正三棱锥V­ABC的外接球的球心为O，满足eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则该三棱锥外接球的体积为________．
eq \f(16,3)π [由题意知，eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(CO,\s\up7(→))，说明正三角形ABC的顶点在球O的大圆上．设球的半径为R，则该三棱锥的底面正三角形ABC的高为eq \f(3R,2)，△ABC的边长为eq \r(3)R，所以正三棱锥V­ABC的体积为eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(3)R)2×R＝eq \r(3)，解得R3＝4，则该三棱锥外接球的体积为eq \f(4,3)πR3＝eq \f(16,3)π．]
一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
[解] (1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB．
设圆O的半径为R，则有eq \f(4,3)πR3＝972π，
∴R＝9，∴SE＝2R＝18．
∵SD＝16，∴ED＝2．
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12eq \r(2)．
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq \r(2)．
∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4eq \r(2)×12eq \r(2)＝96π．
(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(12eq \r(2)＋4eq \r(2))＝32eq \r(2)，
∴eq \f(1,2)r×32eq \r(2)＝eq \f(1,2)×8eq \r(2)×16，解得r＝4．
故圆锥内切球的体积V球＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(256,3)π.