人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样课后练习题

课后素养落实(三十七)　分层随机抽样

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．

方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个．

方法2：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．

对于上述问题，下列说法正确的是(　　)

①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；

②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；

③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；

④在上述两种抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征．

A．①②　　　B．①③　　　C．①④　　　D．②③

B　[根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误．由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故①③正确．]

2．苏州正式实施的《苏州市生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层随机抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是(　　)

A．20    B．40    C．60    D．80

B　[由题可知抽样比为k＝＝，故在青年人中的抽样人数为800×＝40．]

3．某集团生产小、中、大三种型号的客车，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本，其中小型客车18辆，则样本容量n＝(　　)

A．54    B．90    C．45    D．126

B　[依题意得×n＝18，解得n＝90．即样本容量为90．]

4．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1 800名高一学生中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有(　　)

A．1 098人    B．1 008人    C．1 000人    D．918人

B　[设该校高一男生有x人．

法一：由题意可得＝，求得x＝1 008，故选B．

法二：＝，求得x＝1 008，故选B．]

5．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有(　　)

A．1人    B．2人    C．5人    D．6人

C　[设这两项成绩均合格的人数为x，则立定跳远合格但100米跑不合格的人数为30－x，则30－x＋35＋5＝45，得x＝25，

即这两项成绩均合格的有25人，

则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×＝5(人)，故选C．]

二、填空题

6．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．

12　[抽取女运动员的人数为×28＝12．]

7．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

15　[高二年级学生人数占总数的，样本容量为50，则50×＝15．]

8．某分层随机抽样中，有关数据如下：

此样本的平均数为________．

3.437 5　[＝×3＋×4＝3.437 5．]

三、解答题

9．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

[解]　用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：

(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．

(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，

则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；

在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；

在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．

(3)在各层分别按随机数法抽取样本．

(4)汇总每层抽样，组成样本．

10．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下表格：

由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．

[解]　根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1 700－m)件，样本容量为n－10．

根据分层随机抽样的特点可得＝＝，解得m＝900，n＝90，故补全后的表格如下：

1．分层随机抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是(　　)

A．甲应付51钱

B．乙应付32钱

C．丙应付16钱

D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少

B　[由分层随机抽样可知，抽样比为＝，

则甲应付×560＝51(钱)；

乙应付×350＝32(钱)；

丙应付×180＝16(钱)．]

2．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：

其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为(　　)

A．25    B．35    C．45    D．55

C　[由题意知，全校参加跑步的人数占总人数的，高三年级参加跑步的总人数为×2 000×＝450，由分层抽样的特征得高三年级参加跑步的学生中应抽取×450＝45(人)．]

3．(多选题)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则下列说法正确的是(　　)

A．应采用分层随机抽样抽取

B．应采用抽签法抽取

C．三种型号的轿车依次抽取6辆，30辆，10辆

D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

ACD　[由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A正确；

因为总体量较大，故不宜采用抽签法，所以B错误；

设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，

则有＝＝＝，

解得所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；

由分层随机抽样的意义可知D也正确．]

4．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩分别为80分和90分，则

(1)高一、高二抽取的样本量分别为________．

(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________分．

(1)90,70　(2)84.375　[(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为×160＝90，高二年级抽取的样本量为×160＝70．

(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为＝×80＋×90＝84.375分．]

某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

[解]　(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，

则有＝47.5%，＝10%．

解得b＝50%，c＝10%．

故a＝1－50%－10%＝40%．即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%,50%,10%．

(2)游泳组中，抽取的青年人为200××40%＝60(人)；

抽取的中年人为200××50%＝75(人)；

抽取的老年人为200××10%＝15(人)．