2021学年6.2.3 平面向量的坐标及其运算同步测试题

这是一份2021学年6.2.3 平面向量的坐标及其运算同步测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(多选题)已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．向量a的终点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
AC [|a|＝eq \r(－22＋32)＝eq \r(13)，|b|＝eq \r(22＋－32)＝eq \r(13)，所以A正确；向量可以平移，故B错误；a＝－b，则a与b互为相反向量，a与b的坐标关于原点对称，故C正确，D错误．]
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则eq \(BD,\s\up7(→))＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5)D．(2,4)
B [∵eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，∴eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(－1，－1)，
∴eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(－3，－5)，故选B．]
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1)B．(－1,1)
C．(－4,6)D．(4，－6)
D [因为4a,3b－2a，c对应有向线段首尾相接，
所以4a＋3b－2a＋c＝0，
故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)
＝(4，－6)．]
4．以下命题错误的是( )
A．若i，j分别是与平面直角坐标系中x轴，y轴同向的单位向量，则|i＋j|＝|i－j|
B．若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有eq \f(x1,y1)＝eq \f(x2,y2)
C．零向量的坐标表示为(0,0)
D．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
B [设i＝(1,0)，j＝(0,1)，则i＋j＝(1,1)，i－j＝(1，－1)．|i＋j|＝|i－j|＝eq \r(2)，故A项正确；∵零向量与任何向量平行，若a＝(0,0)，则eq \f(0,0)＝eq \f(x2,y2)无意义，故B项错误；根据向量的坐标表示可知C，D项正确．]
5．在▱ABCD中，已知eq \(AD,\s\up7(→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于O点，则eq \(CO,\s\up7(→))的坐标是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
B [由向量加法的平行四边形法则可得eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝(3,7)＋(－2,3)＝(1,10)，
∴eq \(CO,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).]
二、填空题
6．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0)) [由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则eq \(AB,\s\up7(→))＝(x－1，y－2)＝b.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＝x－1，,3λ＝y－2，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2λ，,y＝3λ＋2，))
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0)).]
7．已知点A(2,3)，B(－1,5)，且eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))，则点C的坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(11,3))) [因eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))，即eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))，所以eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)(2,3)＋eq \f(1,3)(－1,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(11,3))).]
8．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [∵a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b，
∴6(x2－2x)－6a＝0，即x2－2x－a＝0.
因为存在实数x，则方程有解，
所以Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1，
即a的取值范围是[－1，＋∞)．]
三、解答题
9．已知点A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(CA,\s\up7(→))＝c.
(1)求3a＋b；
(2)当向量3a＋b与b＋kc平行时，求k的值．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b＝3(5，－5)＋(－6，－3)＝(9，－18)．
(2)b＋kc＝(－6＋k，－3＋8k)，
∵3a＋b与b＋kc平行，
∴9×(－3＋8k)－(－18)×(－6＋k)＝0，
∴k＝eq \f(3,2).
10．在平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(2)若向量d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq \r(5)，求向量d的坐标．
[解] (1)由已知条件以及a＝mb＋nc，可得(3,2)＝
m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得m＝eq \f(5,9)，n＝eq \f(8,9).
(2)设向量d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．
∵(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝eq \r(5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3，))
∴向量d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
11．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且|eq \(AG,\s\up7(→))|＝2|eq \(GD,\s\up7(→))|，那么点C的坐标为( )
A．(－4,2)B．(－4，－2)
C．(4，－2)D．(4,2)
C [由题意知，G是△ABC的重心，
设C(x，y)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋6＋x,3)＝4，,\f(3－4＋y,3)＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2.))故C(4，－2)．]
12．(多选题)下列结论正确的是( )
A．a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa
B．e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|e
C．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))
D．已知λ1＞0，λ2＞0，{e1，e2}是一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1不共线，a与e2也不共线
BD [若a为零向量，则A中结论不成立；由共线向量定理及向量数乘运算知B成立；对于C，eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(x2－x1，y2－y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－x1,2)，\f(y2－y1,2)))，故C不成立；根据平面向量基本定理知D成立．]
13．已知A(1,2)，B(2,4)，点P在x轴上．
(1)当P的坐标为________时，PA＋PB取得最小值，为________；
(2)当P的坐标为________时，PB－PA取得最大值，为________．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，0)) eq \r(37) (2)(0,0) eq \r(5) [(1)点A(1,2)关于x轴的对称点为A′(1，－2)，
连接A′B交x轴于一点P′(x1,0)，则(PA＋PB)min＝
P′A＋P′B＝A′B＝eq \r(2－12＋4＋22)＝eq \r(37)，
此时eq \(A′P′,\s\up7(→))＝(x1－1,2)，eq \(A′B,\s\up7(→))＝(1,6)．
∵eq \(A′P′,\s\up7(→))∥eq \(A′B,\s\up7(→))，∴6(x1－1)＝1×2，
∴x1＝eq \f(4,3).
即点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，0))时，PA＋PB取得最小值，为eq \r(37).
(2)连接BA延长交x轴于点P″(x,0)，则(PB－PA)max＝P″B－P″A＝AB＝eq \r(2－12＋4－22)＝eq \r(5)，
此时，eq \(P″A,\s\up7(→))＝(1－x,2)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,2)．
∵eq \(P″A,\s\up7(→))∥eq \(AB,\s\up7(→))，∴2×(1－x)＝2×1，
∴x＝0.
即点P的坐标为(0,0)时，PB－PA取得最大值，为eq \r(5).]
14．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up7(→))(λ∈R)，则λ的值为________．
eq \f(2,5) [如图所示，∵∠AOC＝45°，
∴设C(x，－x)，则eq \(OC,\s\up7(→))＝(x，－x)．
又∵A(－3,0)，B(0,2)，
∴λeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up7(→))＝(－3λ，2－2λ)，又eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up7(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ，))⇒λ＝eq \f(2,5).]
15．在平面直角坐标系中，给定△ABC，点M为BC的中点，点N满足eq \(AN,\s\up7(→))＝2eq \(NC,\s\up7(→))，点P满足eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AM,\s\up7(→))，eq \(BP,\s\up7(→))＝μeq \(BN,\s\up7(→)).
(1)求λ与μ的值；
(2)若A，B，C三点坐标分别为(2，－2)，(5,2)，(－3,0)，求P点坐标．
[解] (1)设eq \(BM,\s\up7(→))＝a，eq \(CN,\s\up7(→))＝b，
则eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CM,\s\up7(→))＝－a－3b，eq \(BN,\s\up7(→))＝2a＋b，
eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AM,\s\up7(→))＝－λa－3λb，eq \(BP,\s\up7(→))＝μeq \(BN,\s\up7(→))＝2μa＋μb，
故eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(BP,\s\up7(→))－eq \(AP,\s\up7(→))＝(λ＋2μ)a＋(3λ＋μ)b，
而eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝2a＋3b，
由平面向量基本定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))
(2)因为A(2，－2)，B(5,2)，C(－3,0)，由于M为BC的中点，所以M(1,1)．设P(x，y)，又由(1)知eq \(AP,\s\up7(→))＝4eq \(PM,\s\up7(→))，
所以(x－2，y＋2)＝4(1－x,1－y)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝41－x，,y＋2＝41－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(2,5)，))
所以P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(2,5))).