高中数学人教版新课标B必修31.3 中国古代数学中的算法案例说课ppt课件
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这是一份高中数学人教版新课标B必修31.3 中国古代数学中的算法案例说课ppt课件,共23页。PPT课件主要包含了问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,第二步,知识点二割圆术,知识点三秦九韶算法,最内层括号内,anx+an-1,v1x+an-2等内容,欢迎下载使用。
学习目标1.理解更相减损之术中的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析.2.理解割圆术中蕴含的数学原理.3.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.4.对简单的案例能设计程序框图并写出算法.
知识点一 更相减损之术
更相减损之术的运算步骤第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是 .若是,用 约简;若不是,执行 .第二步,以 的数减去 的数,接着把所得的差与 的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数 为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
1.割圆术的算法S1 假设圆的半径为1,面积为S,圆内接正n边形面积为Sn,边长为xn,边心距为hn,先从圆内接正六边形的面积开始算起,即n=6,则正六边形的面积S6=6× ;S2 利用公式S2n=Sn+n· ·xn(1-hn)重复计算,就可得到正十二边形、正二十四边形…的面积.因为圆的半径为1,所以随着n的增大,S2n的值不断趋近于圆周率,这样不断计算下去,就可以得到越来越精密的圆周率近似值.
2.割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始,让边数逐次加倍,逐个算出这些圆内接正多边形的面积,从而得到一系列逐渐递增的数值,来一步一步地逼近圆面积,最后求出圆周率的近似值.用刘徽自己的话概括就是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”
思考 衡量一个算法是否优秀的重要参数是速度.把多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1变形为f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,然后求当x=5时的值,为什么比常规逐项计算省时?
答案 从里往外计算,充分利用已有成果,可减少重复计算.
梳理 秦九韶算法的一般步骤:把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式:(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,求多项式的值时,首先计算 一次多项式的值,即v1= ,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2= ,v3= ,…vn= ,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值.
[思考辨析 判断正误]1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( )2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外,没有其他方法.( )3.编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句.( )
例1 试用更相减损之术求612,396的最大公约数.
解 方法一 612÷2=306,396÷2=198,306÷2=153,198÷2=99,∴153-99=54,99-54=45,54-45=9,45-9=36,36-9=27,27-9=18,18-9=9.所以612,396的最大公约数为9×22=36.方法二 612-396=216,396-216=180,216-180=36,180-36=144,144-36=108,108-36=72,72-36=36.故36为612,396的最大公约数.
反思与感悟 用更相减损之术的算法步骤:第一步,给定两个正整数m,n,不妨设m>n.第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使它们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n.第三步,d=m-n.第四步,判断“d≠n”是否成立,若是,则将n,d中的较大者记为m,较小者记为n,返回第三步;否则,2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.
跟踪训练1 用更相减损之术求261和319的最大公约数.
解 ∵319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,∴319与261的最大公约数为29.
解 将f(x)改写为f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,由内向外依次计算一次多项式当x=5时的值:v0=4;v1=4×5+2=22;v2=22×5+3.5=113.5;v3=113.5×5-2.6=564.9;v4=564.9×5+1.7=2 826.2;v5=2 826.2×5-0.8=14 130.2.∴当x=5时,多项式的值为14 130.2.
题型二 秦九韶算法的基本思想
例2 已知一个5次多项式为f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
反思与感悟 秦九韶算法之所以优秀,一是其对所有多项式求值都适用,二是充分利用已有计算成果,效率更高.
跟踪训练2 用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.
解 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,所以有v0=7,v1=7×3+6=27,v2=27×3+5=86,v3=86×3+4=262,v4=262×3+3=789,v5=789×3+2=2 369,v6=2 369×3+1=7 108,v7=7 108×3=21 324.故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324.
1.用秦九韶算法计算多项式f(x)=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7在x=0.4时的值时,需做加法和乘法的次数的和为 A.10 B.9 C.12 D.8
解析 f(x)=(((((6x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x+7,∴做加法6次,乘法6次,∴6+6=12(次),故选C.
2.已知f(x)=2x3+x-3,用秦九韶算法求当x=3时v2的值.
解 f(x)=2x3+x-3=2x3+0·x2+x-3=((2x+0)x+1)x-3,v0=2,v1=2×3+0=6,v2=6×3+1=19.
3.用更相减损之术求1 734和816的最大公约数.
解 因为1 734和816都是偶数,所以分别除以2得867和408.867-408=459,459-408=51,408-51=357,357-51=306,306-51=255,255-51=204,204-51=153,153-51=102,102-51=51.所以867和408的最大公约数是51,故1 734和816的最大公约数是51×2=102.
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