高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数的综合应用2试题文含解析

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1.[2021惠州市二调]若函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点,则a的取值范围是( )
A.(-1e,+∞)B.(-∞,1)
C.(0,1e)D.(-∞,-1e)
2.[2021陕西百校联考]已知锐角x1,x2满足sin x1-cs x2sin x2+cs x2
D.sinx1+sin x2>cs x1+cs x2
3.[2021大同市调研测试]已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00时,f'(x)ln x0成立的x的取值范围是( )
A.(-2,0)∪(0,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
6.已知函数f(x)=(a-12)x2+ln x,若函数f(x)在区间(1,+∞)上的图象恒在直线y=2ax的下方,则实数a的取值范围是 .
7.[2021晋南高中联考]已知函数f(x)=ex-ax,g(x)=1+xln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若当x>0时,方程f(x)=g(x)有实数解,求实数a的取值范围.
8.[2020贵阳市高三模拟][交汇题]已知f(x)=ex,g(x)=x+1.(e为自然对数的底数)
(1)求证:f(x)≥g(x)恒成立.
(2)设m是正整数,对任意的正整数n,(1+13)(1+132)·…·(1+13n)0,故g(x)在(-1,0),(0,1)上单调递增,在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,又g(-1)=-2,g(1)=2,当g(x)=0时,x=±33,当x→+∞时,g(x)→0,当x→-∞时,g(x)→0,所以可画出函数g(x)的大致图象,如图D 3-3-3所示,f(x)存在唯一的零点x0且x00,所以g(x)在(0,4]上单调递增,故f(1)10,f(t)在(0,e3)上单调递增,当t∈(e3,+∞)时,f'(t)0,可得x0,∴4x+1x≥4,当且仅当x=12时取“=”,
∴b≤4,即b的取值范围为(-∞,4].
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由题意可得f(x1)=ax12+bx1-lnx1=0,f(x2)=ax22+bx2-lnx2=0,
即lnx1=ax12+bx1,lnx2=ax22+bx2,两式相减,得lnx1x2=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+b].
由f'(x)=2ax+b-1x知, f'(x1+x22)=a(x1+x2)+b-2x1+x2=1x1-x2lnx1x2-2x1+x2=1x1-x2[lnx1x2-2(x1-x2)x1+x2]=1x1-x2[lnx1x2-2(x1x2-1)x1x2+1],
设t=x1x2∈(0,1),则lnx1x2-2(x1x2-1)x1x2+1=ln t-2(t-1)t+1.
令g(t)=ln t-2(t-1)t+1,t∈(0,1),
则g'(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,
∴g(t)在(0,1)上单调递增,∴g(t)0),
则h'(x)=ex+1x2>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵h(12)=e12-20,
∴存在唯一的x0∈(0,+∞),使得h(x0)=ex0-1x0=0,
易知F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,
∴F(x)min=F(x0)=x0(ex0-1)-ln x0+2=x0ex0-(x0+ln x0)+2,
由ex0-1x0=0得x0ex0=1,
两边取对数得x0+ln x0=0,∴F(x)min=F(x0)=3,
∴a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].
13.(1)当m=0时,y=f(x)g(x)=lnxx,y'=1x·x-lnxx2=1-lnxx2.
当x>e时,y'1时,h'(x)