高考数学一轮复习第九章概率统计与统计案例第三节几何概型课时规范练含解析文北师大版

这是一份高考数学一轮复习第九章概率统计与统计案例第三节几何概型课时规范练含解析文北师大版，共4页。
课时规范练
A组——基础对点练
1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10)
解析：记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝eq \f(25,40)＝eq \f(5,8).
答案：B
2．(2020·武汉武昌区调研)在区间[0，1]上随机取一个数x，则事件“lg0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析：因为lg0.5(4x－3)≥0，所以00”发生时，a>eq \f(1,3)且a≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P＝eq \f(1－\f(1,3),1)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
B组——素养提升练
11．(2020·洛阳统考)在区间(0，2)内随机取一个实数a，则满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
解析：作出约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积S＝eq \f(1,2)×a×2a＝a2＞1，
∴1＜a＜2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率为eq \f(2－1,2－0)＝eq \f(1,2).
答案：C
12．(2020·湖北五校联考)已知定义在区间[－3，3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析：∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2x＋2≥4，∴x≥1，而x∈[－3，3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
答案：B
13.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝eq \f(π,3)，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝eq \f(\f(2π,3),2π)＝eq \f(1,3).
答案：C
14．已知正棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq \f(1,2)VS­ABC的概率是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(7,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
解析：由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP­ABC＜eq \f(1,2)VS­ABC，
故使得VP­ABC＜eq \f(1,2)VS­ABC的概率P＝eq \f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(7,8).
答案：B
15．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )
A.eq \f(7,8) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝eq \f(S阴影,S正方形)＝eq \f(3π2,4π2)＝eq \f(3,4).
答案：B
16．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．
解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为eq \f(1,2)×5×12＝30，阴影部分的面积为eq \f(1,2)×π×22＝2π，所以其概率为eq \f(2π,30)＝eq \f(π,15).
答案：eq \f(π,15)