北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定综合训练题

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定综合训练题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
正方形的性质一、单选题1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）A．对角线互相平行                     B．每一条对角线平分一组对角C．对角线相等                         D．对边相等2．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（　　）A．24 B．12 C．4 D．23．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）A．先变大后变小     B．保持不变        C．一直变大      D．一直变小4．如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（ ）A． B．2 C． D．45．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于点N，则的度数是（   ）A．60° B．45° C．30° D．25°6．如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（    ）A．1 B． C． D．27．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则的最小值为（      ）A． B． C． D．8．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为2，4，H、Q分别为线段、的中点，则的长为（    ）A．2.5 B． C． D．9．如图，在正方形中，是的平分线，若正方形的边长是1，则的长是（    ）A． B． C． D．10．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC＝70°，那么∠DAE＝（    ）A．10° B．15° C．25° D．30°11．如图，在正方形中，点、分别在边、上，，交点为，，交于点．若，，那么正方形的面积为（    ）A． B． C． D．12．如图是将正方形和正方形拼在一起的图形，点，，在同一条直线上，连结，．若阴影部分的面积为8，则正方形的边长为（      ）A．2 B．3 C．4 D．6  二、填空题13．如图，在正方形的外侧作等边，、相交于点，则为______度． 14．如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点是对角线上一动点，则周长的最小值为______．15．如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB的大小为_________．16．如图，正方形的边长为，点为对角线上一点，连接，过点分别作，，垂足为，，．则线段的长为______．17．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线，分别交AD、BC于点E、F，若正方形的对角线长为，则图中阴影部分的面积是_____． 三、解答题18．如图所示，正方形ABCD中，AC，BD交于点O．BD＝10，点E，F是BD上的两点，BE＝DF＝2．求四边形AECF的周长．    19．如图，是正方形的对角线，是直线上一点．
 （1）若点在边上，，垂足是，且．求证：；（2）若，连接，求的度数．     20．如图，已知点A在BG上，四边形ABCD与四边形DEFG都为正方形，其面积分别是7cm2和11cm2：（1）求AG的长；      （2）求△CDE的面积．     21．如图，点P为正方形ABCD的对角转AC上一动点，过点P作PE⊥PB交射线DC于点E．（1）如图1，当点E在边CD上时，求证：PB＝PE；（2）如图2，当点E在DC的延长线上时，探求线段PA、PC、CE的数量关系并加以证明；（3）如图3，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若正方形ABCD的边长为4，当点E为CD的中点，则PF＝　　（请直接写出结果）．
参考答案1．C解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选：C．2．A解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，AC=BD=12，∴AO=CO=BO=DO，∵BE=DF=8，∴BF=DE=BD-BE=4，∴OE=OF，EF=DF-DE=4，∴四边形AECF是菱形，∴菱形AECF的面积=AC•EF=×12×4=24，故选：A．3．B解：连接DE，∵S△CDE=S矩形ECFG，S△CDE=S正方形ABCD，∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．即保持不变．故选：B．4．C解：过点O作OG⊥AD于点G，如图∵四边形ABCD是正方形，且对角线AC、BD相交于点O∴OA=OB=OD ，∠OAF=∠OBE=45°，AC⊥BD∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=90°∵OE⊥OF∴∠AOE+∠AOF=90°∴∠FOA=∠EOB在△FOA和△EOB中 ∴ △FOA≌△EOB(ASA)∴OF=OE∵OE⊥OF∴由勾股定理得：∴当OF最小时，EF最小∵OG⊥AD∴OF≥OG即当OF与OG重合时，线段OF最小，最小值为OG的长，从而EF的最小值为 ∵OA=OD，OG⊥AD∴G点是AD的中点∴OG=AD=2∴故选：C．5．B解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵△BCM是等边三角形，∴BM=BC，∠MBC=∠BMC=60°，∴AB=BM，∠ABM=30°，∴∠BAM=∠AMB，又∵∠BAM+∠AMB+∠ABM=180°，∴∠BAM=∠BMA=75°，∴∠CMN=180°-∠CMB-∠BMA=45°，故选B．6．C解：四边形是正方形，，，∵在中，，，设，则，根据勾股定理得：，即，解得：（负值舍去），，，，，，，，，．故选：．7．B解：如图，连接EC，PC，

∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC，
∴EC就是AP＋PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，
∴CD＝4cm，ED＝2cm，
∴CE＝，
∴AP＋PE的最小值是2cm．
故选：B．8．C解：∵H、Q分别为线段DF、EF的中点，∴HQ为三角形FDE的中位线，∴，∵点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，4，∴AD=AB=2，BE=4，∠A=90°，∴AE=AB+BE=6，∴，∴，故选C.9．C解：∵四边形ABCD为正方形，∴，∴ ∵AC，BC是正方形的对角线∴∵是的平分线，∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选C10．C解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∠BCD＝90°，在△AED和△CED中，，    ∴△AED≌△CED（SAS），∴∠DAE＝∠ECD，又∵∠BEC＝70°，∴∠BCE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝90°﹣65°＝25°，∴∠DAE＝25°，故选：C．11．B解：四边形是正方形，，，，，，，，，，在与中，，，，设，则，，，设为，，在中，，在中，，，解得：，，（舍负），正方形的面积为．故选：．12．C解：如图，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，∴∠BDC=∠GCF，∴BD∥CF，∴S△BDF=S△BCD=8，∴S△BDF=BC×BC÷2=8．∴BC=4，故选：C．13．120．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°，∴∠EFC＝180°﹣∠BFC＝120°；故答案为：120．14．6解：如图，作作关于的对称点，正方形是轴对称图形，是它的一条对称轴，则在上，，，当三点共线时候，最小，四边形是正方形，，，，周长的最小值为的最小值，即．故答案为：6．15．30°解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，∵△BPC是等边三角形，∴∠PBC＝∠BCP＝∠BPC＝60°，BP＝PC＝BC，∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠PBD＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，∵∠BCD＝90°，∠BCP＝60°，∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°，∵PD＝DC，∴∠DPC＝ ，∴∠PDB＝180°﹣∠PBD﹣∠BPC﹣∠CPD＝180°﹣15°﹣60°﹣75°＝30°，故答案为：30°．16．解：延长NE与AD交于F，∵四边形ABCD是正方形，EM⊥AB，EN⊥BC，∴∠MAE=45°，∠AME=∠BME=∠ENB=∠B=90°，∴四边形BMEN是矩形，∠AEM=45°，∴ME=AM=BN=5，NC=BC-BN=13同理可以证明四边形NCDF是矩形，四边形AMEF是正方形，∴DF=CN，EF=AM=5，∴，故答案为：13.17．解：在正方形ABCD中， ， ， ，又∵ ，∴ ，∴ ，∴图中阴影部分的面积等于 ，∵正方形的对角线长为，∴ ， ，∴图中阴影部分的面积等于 ．故答案为：．18．4解：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，∵BD＝10，BE＝DF＝2，∴OE＝5﹣2＝3，OC＝5，∴CE＝，∴菱形AECF的周长为4．19．（1）见解析；（2）或解：证明：（1）连接．四边形是正方形，．，，．∴．．四边形是正方形，．．．（2）分两种情形：①如图2，点在的延长线上，．，又，．②如图3，点在的延长线上，，又．由上①②可知的度数是或20．（1）2；（2）解：（1）∵四边形ABCD与四边形DEFG都为正方形，其面积分别是7cm2和11cm2，∴ ，，由勾股定理得：（2）如图，延长 过作于 正方形 正方形 （负根舍去）所以△CDE面积．21．（1）见解析；（2）AP﹣PC＝EC．证明见解析；（3）．解：（1）证明：如图1，连接PD．∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠PCB＝∠PCD＝45°，在△PCB和△PCD中，，∴△PCB≌△PCD（SAS），∴PB＝PD，∠CBP＝∠CDP，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝∠BCE＝90°，∴∠CBP+∠CEP＝180°，∵∠CEP+∠PED＝180°，∴∠PED＝∠CBP，∴∠PED＝∠CDP，∴PE＝PD，∴PB＝PE；（2）解：结论：AP﹣PC＝EC．理由如下：如图2，过点P作PT⊥PC交BC于T，过点T作TH⊥BC交AC于H，过点H作HK⊥AB于K，设PE交BC于点O．∵∠ECO＝∠BPO＝90°，∠EOC＝∠BOP，∴∠E＝∠PBT，∵∠BPE＝∠TPC＝90°，∵∠BPT＝∠EPC，∵∠PCE＝∠PTC＝45°，∴PT＝PC，在△BPT和△EPC中，，∴△BPT≌△EPC（AAS），∴BT＝EC，∵HT⊥BC，∴∠TCH＝∠THC＝45°，∴CT＝TH，∵TP⊥CH，∴PC＝PH，∵HK⊥AB，∴∠HKB＝∠KBT＝⊥HTB＝90°，∴四边形BTHK是矩形，∴HK＝BT＝EC，∵∠AKH＝90°，∠KAH＝45°，∴AH＝KH＝EC，∵PA﹣PC＝PA﹣PH＝AH，∴PA﹣PC＝EC；（3）解：如图3中，过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J．∵BC＝CD＝4，CE＝ED＝2，∠BCE＝90°，∴BE＝＝＝2，∵△BPE是等腰直角三角形，PL⊥BE，∴BL＝EL＝，∴PL＝BE＝，∵FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC，∴FQ＝FJ，∵＝＝＝，∴EF＝BE＝，∴FL＝LE﹣EF＝﹣＝，∴PF＝＝＝．