2021学年2.2 整式的加减学案

专题2.2.4 整式的加减运算中的解题技巧（知识讲解）

类型一、整体思想 

例题1：我们知道，，类似地，若我们把看成一个整体，则．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题：

（1）把看成一个整体，计算的结果是（    ）．

A．            B．       

C．         D．

（2）已知，求代数式的值；

（3）已知，，，求的值．

举一反三：

【变式1】已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2017的值．

【变式2】计算下列各式．

（1）若，求代数式的值．

（2）若，求代数式的值．

（3）若，求代数式的值．

类型二..整式加减的应用

2、（1）已知，若，求的值；

（2）已知多项式与 多项式的差中不含有，求的值．

举一反三：

【变式1】已知：A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣x﹣y﹣3．

（1）求3A﹣（4A﹣2B）的值；

（2）当x取任意数值，A﹣2B的值是一个定值时，求（a+A）﹣（2b+B）的值．

【变式2】学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“当，，求的值”.小明做完后对同桌说：“老师给的条件是多余的，这道题不给的值，照样可以求出结果来”.同桌不相信他的话．亲爱的同学们，你相信小明的说法吗？

答案解析

类型一、整体思想 

例题1：我们知道，，类似地，若我们把看成一个整体，则．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题：

（1）把看成一个整体，计算的结果是（    ）．

A．            B．       

C．         D．

（2）已知，求代数式的值；

（3）已知，，，求的值．

解析：（I）利用“整体思想”进行合并同类项即可；

（2）先对所求的代数式进行变形，然后再整体代入即可解答；

（3）先将原式化成含有a-2b、2b-c 、c-d的形式，然后再将a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10整体代入计算即可．

 解：（1）3（a-b）2-7（a-b）2+2（a-b）2

=（3-7+2）（a-b）2

=-2（a-b）2，

故答案为C；

（2）∵，

∴原式；

（3）∵，，，

∴原式

．

【点拨】本题主要考查了代数式求值和整式的加减运算，掌握整体思想成为解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2017的值．

【解析】先求出a2+a，然后代入所求代数式进行计算即可得解．

解：∵a2＋a＝1，

∴a3＋2a2＋2017＝a3＋a2＋a2＋2017

＝a(a2＋a)＋a2＋2017

＝a＋a2＋2017

＝1＋2017

＝2018.

【点拨】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

【变式2】计算下列各式．

（1）若，求代数式的值．

（2）若，求代数式的值．

（3）若，求代数式的值．

【解析】（1）由得，，，代入=中，化简可得；

（2）由得到，再将化简为，将代入，逐步计算即可；

（3）由得到，由得到，代入中计算即可．

 解：（1）∵，

∴，，，

∴

=

=

=

=-3

（2）∵，

∴，

∴

=

=

=2021；

（3）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴===1．

【点拨】本题考查了代数式求值，解题的关键是能够根据已知等式，将所求代数式进行合理变化，再代入计算．

类型二、整式加减的应用

2、（1）已知，若，求的值；

（2）已知多项式与 多项式的差中不含有，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据题意求得x和y的值，然后将化简，化简后代入x、y的值运算即可；

（2）先求出两个多项式的差，不含有，代表含有，项的系数为0，求出m和n的值代入原式即可求解．

解：（1）∵

∴，

=

=

=

当，时，原式==

（2）

=

∵两多项式的差中不含有，

∴，

∴，

当，时，

原式==

故答案为（1）；（2）．

【点拨】本题考查了整数的加减混合运算，绝对值的非负性，偶次方的非负性，整式的意义，多项式中不含有某项，令该项的系数为0即可．

举一反三：

【变式1】已知：A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣x﹣y﹣3．

（1）求3A﹣（4A﹣2B）的值；

（2）当x取任意数值，A﹣2B的值是一个定值时，求（a+A）﹣（2b+B）的值．

【答案】（1）（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；（2）﹣3．

【分析】（1）先化简原式，再分别代入A和B的表达式，去括号并合并类项即可；

（2）先代入A和B的表达式并去括号并合并类项，由题意可令x和x2项的系数为零，求解出a和b的数值，再化简原式后代入相关数值即可求解.

解：解：（1）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣x﹣y﹣3，

∴原式=3A﹣4A+2B=﹣A+2B=﹣2x2﹣ax+5y﹣b+2bx2﹣3x﹣5y﹣6=（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；

（2）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣x﹣y﹣3，

∴A﹣2B=2x2+ax﹣5y+b﹣2bx2+3x+5y+6=（2﹣2b）x2+（a+3）x+（b+6），

由x取任意数值时，A﹣2B的值是一个定值，得到2﹣2b=0，a+3=0，

解得：a=﹣3，b=1，

则原式=a﹣2b+（A﹣2B）=﹣3﹣2+=﹣3．

【点拨】理解本题中x取任意数值时A﹣2B的值均是一个定值的意思是整式化简后的x和x2项的系数均为零是解题关键.

【变式2】学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“当，，求的值”.小明做完后对同桌说：“老师给的条件是多余的，这道题不给的值，照样可以求出结果来”.同桌不相信他的话．亲爱的同学们，你相信小明的说法吗？

【答案】-21

【分析】首先化简代数式，通过去括号、合并同类项，得出结论即含有b的代数式相加为0，即可说明．

   解

 ＝

 ＝

当时

原式＝

＝－21.

【点拨】考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键.