初中人教版22.1.1 二次函数导学案

22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（知识讲解2）

第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

课前预习

1.求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，也就是求出a，b，c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式.

2.求二次函数的解析式的常用方法：一般式为          ，交点式为         

                ，顶点式为                .

课堂练习

知识点1    用一般式求二次函数的解析式

1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（1，0），（2，0），（3，4）三点，则该抛物线的解析式为（     ）

A.y=x2-3x+2             B.y=2x2-6x+4

C.y=2x2+6x-4            D.y=x2-3x-2

2.已知一个二次函数，当x=1时，y=-1；当x=2时，y=1；当x=-1时，y=1.求这个二次函数的解析式.

知识点2    用交点式求二次函数的解析式

3.某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出的部分数据如下表：

则二次函数的解析式为               .

4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（    ）                                                               

A.y=x2-x-2                B.y=-x2-x+2

C.y=-x²-x+1           D.y=-x2+x+2

知识点3    用顶点式求二次函数的解析式

5.已知一个二次函数，当x=3时，函数有最大值6，且图象经过点（0，-3），则二次函数的解析式为                   .

6. 在体育测试时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图所示)，如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）.求这个二次函数的解析式.

课时作业

1.与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为                      .

2.二次函数的图象如图所示，则解析式为                 .

3.如图所示，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），图象与x轴的另一个交点为C，则AC的长为          .

4.已知抛物线的顶点坐标为（2，-1），且抛物线经过点（0，3），则二次函数的解析式为（      ）

A.y=-（x-2）2-1       B.y=-（x-2）2-1

C.y=（x-2）2-1        D.y=（x-2）2-1

5.已知抛物线经过点（0，4），（1，-1），（2，4），那么它的对称轴是直线（     ）

A.x=-1               B.x=1             C.x=3                D.x=-3

6.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l处时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（     ）

A.y=-2x2        B.y=2x2         C.y=-x2                      D.y=x2

7.如图所示为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（     ）

A.a+b=-1     B.a-b=-1

C.b<2a       D.ac<0

8.求出符合下列条件的二次函数解析式：

（1）二次函数图象经过点（-1，0），（1，2），（0，3）；

（2）二次函数图象的顶点坐标为（-3，6），且经过点（-2，10）；

（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9.

9.【核心素养·勇于探究】已知y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-3，2），B（1，2）两点，且抛物线顶点P到AB的距离为2，求此抛物线的解析式.

10. 如图，对称轴为直线x＝-1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.

（1）求点B的坐标；

（2）求二次函数的解析式.

答案解析

课前预习

1.求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，也就是求出a，b，c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式.

2.求二次函数的解析式的常用方法：一般式为  y=ax2+bx+c  ，交点式为  y=a（x-x1）（x-x2）  ，顶点式为  y=a（x-h）2+k  .

课堂练习

知识点1    用一般式求二次函数的解析式

1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（1，0），（2，0），（3，4）三点，则该抛物线的解析式为（  B  ）

A.y=x2-3x+2             B.y=2x2-6x+4

C.y=2x2+6x-4            D.y=x2-3x-2

2.已知一个二次函数，当x=1时，y=-1；当x=2时，y=1；当x=-1时，y=1.求这个二次函数的解析式.

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.根据题意，知二次函数经过（1，-1），（2，1），（-1，1）三点，

 ∴解得

∴二次函数的解析式为y=x2-x-1.

知识点2    用交点式求二次函数的解析式

3.某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出的部分数据如下表：

则二次函数的解析式为  y=x2-4x+3  .

【解析】由题意知抛物线经过（1，0），（3，0），设y=a（x-1）（x-3）.

∵点（0，3）在抛物线上，∴3=a（0-1）（0-3），解得a=1.

∴y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3.

4.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（  D  ）

A.y=x2-x-2                B.y=-x2-x+2      C.y=-x²-x+1           D.y=-x2+x+2

知识点3    用顶点式求二次函数的解析式

5.已知一个二次函数，当x=3时，函数有最大值6，且图象经过点（0，-3），则二次函数的解析式为  y=-x2+6x-3  .

6. 在体育测试时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图所示)，如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）.求这个二次函数的解析式.

解：∵顶点B（6，5）.设抛物线的解析式为y＝a（x-6）2＋5.把点A（0，2）代入解析式，得

a（0-6）2＋5=2.解得a＝-.

∴y＝-（x-6）2＋5＝-x2＋x＋2.

课时作业

1.与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为  y=x2-3x+  .

2.二次函数的图象如图所示，则解析式为  y=-x2+2x+3  .

【解析】由图可知，抛物线对称轴是直线x=1，与y轴交于（0，3），与x轴交于（-1，0）.

设解析式为y=ax2+bx+c，则

解得    ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.  

3.如图所示，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），图象与x轴的另一个交点为C，则AC的长为  3  .

【解析】由y=x2+bx+c经过点（-1，0），（1，-2）可得

∴∴y=x2-x-2.其对称轴为x=，由对称性得C点坐标为（2，0），∴AC=2-（-1）=3.

4.已知抛物线的顶点坐标为（2，-1），且抛物线经过点（0，3），则二次函数的解析式为（  C  ）

A.y=-（x-2）2-1       B.y=-（x-2）2-1

C.y=（x-2）2-1        D.y=（x-2）2-1

5.已知抛物线经过点（0，4），（1，-1），（2，4），那么它的对称轴是直线（  B  ）

A.x=-1               B.x=1

C.x=3                D.x=-3

6.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l处时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（  C  ）

A.y=-2x2               B.y=2x2              C.y=-x2                      D.y=x2

7.如图所示为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（  B  ）

A.a+b=-1

B.a-b=-1

C.b<2a

D.ac<0

【解析】根据题意，得A（-1，0），C（0，1），把这两个点代入y=ax2+bx+c得∴a-b=-1.故选B.

8.求出符合下列条件的二次函数解析式：

（1）二次函数图象经过点（-1，0），（1，2），（0，3）；

（2）二次函数图象的顶点坐标为（-3，6），且经过点（-2，10）；

（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9.

解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.根据题意，得

解得

∴二次函数解析式为y=-2x2+x+3；

（2）设二次函数解析式为y=a（x+3）2+6.

把（-2，10）代入解析式，得a×（-2+3）2+6=10，解得a=4.

∴二次函数解析式为y=4（x+3）2+6=4x2+24x+42；

（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-3）.

抛物线与y轴交点坐标为（0，9），把（0，9）代入解析式，得a×1×（-3）=9，解得a=-3.

∴二次函数解析式为y=-3（x+1）（x-3）=-3x2+6x+9.

9.【核心素养·勇于探究】已知y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-3，2），B（1，2）两点，且抛物线顶点P到AB的距离为2，求此抛物线的解析式.

解：∵A（-3，2），B（1，2）的纵坐标相同，

∴抛物线对称轴为x=-1.

又∵顶点P到AB的距离为2，

∴P（-1，0）或P（-1，4）.

设抛物线解析式为y=a（x+1）2或y=a（x+1）2+4.

将B（1，2）分别代入所设的解析式得a=或a=-.

∴y=（x+1）2=x2+x+或y=-（x+1）2+4=-x2-x+.

∴抛物线的解析式为y=x2+x+或y=x2-x+.

10. 如图，对称轴为直线x＝-1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.

（1）求点B的坐标；

（2）求二次函数的解析式.

解：（1）根据题意，知A，B两点关于直线x＝-1对称，

∵A（-3，0），∴B（1，0）；

（2）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝-1，

∴-＝-1，解得b＝2.

将点B（1，0）代入y＝x2+2x+c中，得1+2+c＝0，解得c＝-3.

∴二次函数的解析式为y＝x2+2x-3.