人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质学案及答案

22.1.2 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解）

【要点梳理】

要点一、二次函数的概念
1.二次函数的概念

一般地，形如                            （a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

　　若b=0，则                 ； 若c=0，则              ； 若b=c=0，则              .

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

要点诠释：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象

用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法

（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：

①        ：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．

②         ：在平面直角坐标系中描出表中的各点．

③         ：用平滑的曲线按顺序连接各点．

④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．

画草图时应抓住以下几点：       ，        ，         ，与           ，             .

3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

要点诠释：
    顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

要点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象

（1）

（2）

2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：

3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.

的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.

要点诠释：

抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．

函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．

    抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．

【典型例题】

类型一、二次函数的概念

1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）．

    A. y=3x﹣1        B. y=ax2+bx+c     C. s=2t2﹣2t+1        D．y=x2+

2.  (1)当m＝________时，函数是二次函数?

          (2)当m＝________时，函数是一次函数?

举一反三：

【变式】若是关于x的二次函数，则a=　 　     ．

类型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

3．函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．

举一反三：

【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则        ．

【变式2】抛物线y=﹣x2不具有的性质是（　　）．

A.开口向上                                B. 对称轴是y轴   

  C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大     D. 最高点是原点

4. 二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2013在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，求△A2012B2013A2013的边长．

5.  有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．

类型三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质

3．求下列抛物线的解析式：

（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；

（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．

4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．

(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；

 (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；

(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．

【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数  的图象大致为（    ）．

【巩固练习】

一、选择题
1．下列函数中是二次函数的有（　　）.

①y=x+；②y=3（x﹣1）2+2；③y=（x+3）2﹣2x2；④y=+x．

A．4个   B．3个  C.2个   D．1个

2．函数是二次函数，则m的值是(    )．

    A．3     B．-3     C．±2     D．±3

3．把抛物线向右平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为(    )．

    A．    B．    C．    D．

4．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为(    )．

    A．y＝60(1-x)2    B．y＝60(1-x)     C．y＝60-x2       D．y＝60(1+x)2

5．在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（    ）．

A．关于y轴对称，抛物线的开口向上          B．关于y轴对称，抛物线的开口向下

C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点      D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点

6．汽车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为(    )．

    A．40 m/s      B．20m/s      C．10 m/s     D．5 m/s

二、填空题

7．已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，

当x＞0时，y随x的增大而________．

8．若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．

9．已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，

则△AOB的面积为________．

10．函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．

第10题                            第12题

11．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是　．

12．如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB的边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为_____   ___(不要求写自变量的取值范围)．

三、解答题

13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．

(1)求m的值；(2)画出函数的图象．

14. 几位同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式．

15．二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）

（1）求a，m的值；

（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？

（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

【巩固练习二】

一、选择题
1．若抛物线的开口向下，则m的值为(    )．

    A．3      B．-3     C．     D．

2．抛物线的顶点坐标，对称轴分别是(    )．

    A．(2，0)，直线x＝-4       B．(-2，0)，直线x＝4

    C．(1，3)，直线x＝0        D．(0，-4)，直线x＝0

3．如图所示正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是(    )．

4．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）.

A.      B.    C.       D.

5．在抛物线①y＝2x2，②，③中．图象开口大小顺序为(    )．

A．①＞②＞③    B．①＞③＞②    C．②＞①＞③    D．②＞③＞①

6．图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，

水面宽4 m．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(    )．

A．     B．     C．     D．

二、填空题

7．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是　   　（填“上升”或“下降”）．

8．若y＝(m2-1)x2+(m2+2m-3)x-m-1，当m_______时，y是x的二次函数；当m_______时，y是x的一次函数．

9．已知(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线(a≠0)上的两点．当时，，

则a的取值范围是________．

10．将抛物线向下平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是____     ____．

11．如图所示，抛物线交x轴于G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有

两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C．

四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为________．

             第11题                           第12题

12．如图所示，二次函数的图象经过点与x轴交于A、B两点，

则c的值为          ．

三、解答题

13．如图所示，桥拱是抛物线形，桥拱上有一点P，其坐标为(2，-1)，当水位在AB位置时，水面宽12米，求水面离拱顶的高度h．

14. 已知直线与x轴交于点A，抛物线的顶点平移后与点A重合．

(1)求平移后的抛物线C的解析式；

(2)若点B(，)，C(，)在抛物线C上，且，试比较，的大小．

15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？

．