初中第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明2 定理与证明教案

第13章　全等三角形

13.1　命题、定理与证明

1.命题

【教学目标】

知识与技能

了解命题、公理、定理的含义,会区分命题的题设和结论,会判断真命题和假命题,会把命题改写为“如果……,那么……”的形式;会运用公理、定理进行简单的真命题的证明.

过程与方法

让学生经历观察、分析、讨论的过程,得出可以用举反例的方法判断一个命题是假命题.

情感、态度与价值观

初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.

【重点难点】

重点

让学生分清命题的题设和结论,熟悉命题的表达式;会运用公理、定理进行简单的真命题的证明.

难点

将一个命题改写为“如果……,那么……”的形式.

【教学过程】

一、创设情景,导入新课

我们已经学习了哪些图形的特性?看哪个小组回答得最多?根据学生的回答,选取一个导入新课.如“对顶角相等”这个句子,表示判断一件事情的语句就是今天学习的内容.板书课题:命题.

二、师生互动,探究新知

1.命题的定义与结构

【教师讲解】

以上所举例子都是判断某一件事情的语句.表示判断的语句叫做命题.

【辨一辨】

下面的语句是命题的是:①你很美.②你的奶奶身体好吗?③直角都互补;④平行同一直线的两直线平行.

【教学说明】

命题的形式是陈述句,且作了判断.

将你所列举的命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出条件与结论.

【教学说明】

“如果……”的部分是条件,“那么……”部分是结论,寻找命题的条件与结论即将命题写成“如果……那么”的形式,注意改写后语句应通顺.

2.真命题与假命题.

教师归纳:条件成立、结论也成立的命题叫做真命题,条件成立,不能保证结论是正确的命题叫做假命题,让学生一对一给出命题,并辨别真假.

三、随堂练习,巩固新知

判断下列语句是不是命题.

(1)两条直线相交只有一个交点;(2)同角的余角相等;(3)求∠ABC的大小;(4)延长AB到C,使BC=AB;(5)两直线平行,同位角相等.

【答案】

(1)(2)(5)是命题,(3)(4)不是命题.

四、典例精析,拓展能力

【例】

指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题请举一个反例.

(1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;

(2)两个无理数之和仍是无理数.

【答案】

(1)真命题,条件是经过一点画已知直线的垂线,结论:有且是只有一条.

(2)假命题,条件是:两个数都是无理数,结论是:它们的和是无理数.如与 -都是无理数,但和为0,是有理数.

【教学说明】

找命题条件与结论时,关键将命题改写成“如果……那么……”的形式,说明假命题举出一个反例即可,辨别命题的真假应思维全面.

五、运用新知,深化理解

命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是　　　　,结论是　　　　,它是一个　　　　,反例为　　　　. 

【教学说明】

使学生掌握寻找命题条件与结论的方法,说明一个命题为假命题,应举出一个反例.

六、师生互动,课堂小结

这节课你学到了什么?你有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.

【教学反思】

本节内容,较少,比较简单,但命题的概念比较抽象,应从形式到内容帮助学生分析,命题的条件与结论是辨别命题的基础,应掌握,针对学习情况对理解不深刻的同学给予单独的辅导.

2.定理与证明

【教学过程】

一、复习旧知,导入新课

1.什么是命题?命题的结构是什么?

2.命题如何分类?如何证明一个命题是假命题?

今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法.

二、师生互动,探究新知

(一)基本事实.

教师讲解;并板书:

(1)两点确定一条直线;

(2)两点之间线段最短;

(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;

(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;

(5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行.

上述五个命题是被公认的真命题,我们将它们当作基本事实,是我们用来判断其他命题真假的原始依据,即出发点.

(二)定理与证明

教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.

1.教师讲解:请大家看下面的例子:

当n=1时,(n2-5n+5)2=1;

当n=2时,(n2-5n+5)2=1;

当n=3时,(n2-5n+5)2=1.

我们能不能就此下这样的结论:对于任意的正整数(n2-5n+5)5的值都是1呢?实际上我们的猜测是错误的,因为当n=5时,(n2-5n+5)2=25.

2.教师再提出一个问题让学生回答:如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想:当a>b时,a2>b2.这个命题是真命题.

【答案】

不正确,因为3>-5,但32<(-5)2.

【教师总结】

在前面的学习过程中,我们用观察、验证、归纳、类比等方法,发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道,这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说,由这些方法得到的命题的可能是真命题,也可能是假命题.

【教师讲解】

数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

(三)定理的证明

直角三角形两锐角互余.

【教师引导】

将文字语言转化为几何语言,注意推理步步有据,并在后面的括号里写上每步的依据.

【教师讲解】

此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理.

定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.

三、随堂练习,巩固新知

下列命题中,假命题是(　　)

A.定理都是命题　　　　　B.命题都是定理

C.公理都是命题 D.推理过程叫证明

【答案】B

四、典例精析,拓展新知

【例】

试证明:如果两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的角平分线互相垂直.

【教学说明】

教师引导文字命题证明步骤,先画图写出已知求证,再分析找出思路,最后写出证明过程,注意步步有据.

五、运用新知,深化理解

如图,AD∥BC,∠A=∠C,求证:AB∥CD.

【教师说明】

教师启发由AD∥BC,得到了什么?要证明AB∥CD,需要证明什么?与AB∥BC相关的信息是什么?如何书定使条理清晰,层次分明.

六、师生互动,课堂小结

这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.

1.可以推断它是正确的或是错误的句子叫做命题,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.命题可以写成“如果……,那么……”的形式.要判断一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.

2.从长期实践中总结出来为真的命题叫做公理,把一些用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理.

【教学反思】

本节课从同学们已学的五个性质入手,讲解了基本事实的概念作用与地位,从发现命题的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性,从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知证明的步骤与要求.本节课有很多理性认识,学生不可能一蹴就就,在学习中及时完善与提升.

对证明的条理问题应提出更高的要求,以培养学生更严谨的逻辑思维能力.