数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课时训练

人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质同步训练

一、选择题

1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是(　　)

A．a＞0        B．c＞0

C．b2－4ac＞0       D．a＋b＋c＞0

2. （2020·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（　　）

A．abc＞0     B．4ac－b2＜0

C．3a＋c＞0     D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根

3. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过A(－1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m，n)，则下列说法中错误的是(　　)

A. c＜3

B. m≤

C. n≤2

D. b＜1

4. 2019·雅安 在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是(　　)

A．y的最小值为1

B．图象的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2

C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小

D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

5. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为(　　)

①c>0；②a<b<0；③2b＋c>0；④当x>－时，y随x的增大而减小．

A. 1个  B. 2个

C. 3个  D. 4个

6. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是

A．c<-3 B．c<-2
C．c< D．c<1

7. （2020·齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：

①ac＜0；

②4a﹣2b+c＞0；

③当x＞2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．

其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8. 已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为(　　)

A．1或－5  B．－1或5  C．1或－3  D．1或3

二、填空题

9. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是__________．(只需写一个)

10. 如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，那么它对应的函数解析式是______________．

11. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数解析式为y＝__________.

12. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为____________________．

13. 二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)

15. 如图，平行于x轴的直线AC与函数y1＝x2(x≥0)，y2＝x2(x≥0)的图象分别交于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC交y2的图象于点E，则＝________．

16. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……依次进行下去，则点A2019的坐标为________．

三、解答题

17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图．

(1)求演员弹跳离地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝x2＋bx－2过点C.求抛物线的解析式．

19. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．

(1)试判断该抛物线与x轴的交点情况；

(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程．

20. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.

(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；

(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．

人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练-答案

一、选择题

1. 【答案】D

2. 【答案】C

【解析】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x＝－＝－1，知b＝2a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项A正确；根据抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，故选项B正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项C错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值n，即抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝n＋1无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根，选项D正确；而要选择结论错误的，因此本题选C．

3. 【答案】B　【解析】由题意得，c＜0，故A正确；∵a＞0，∴图象开口向上，顶点为最低点，∴n≤2，故C正确；将A(－1，2)、B(2，5)，代入得a－b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，整理得a＋b＝1，∵a＞0，∴b＜1，故D正确．故选择B.

4. 【答案】C

5. 【答案】C　【解析】∵抛物线与y轴交点在正半轴，∴c＞0，故①正确；抛物线开口向下，∴a＜0，对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0.由图象知，二次函数图象经过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，又4a－2b＋c＜0，∴4a－2b－a－b＜0，∴3a－3b＜0，∴a－b＜0，∴a＜b，故②正确；∵a＋b＋c＝0，∴a＝－c－b，4a－2b＋c＜0，∴－4c－4b－2b＋c＜0，∴－6b－3c＜0，∴2b＋c＞0，故③正确；∵－1＜－＜0，若对称轴x＝－＞－时，y随x增大不一定减小，故④不正确．

6. 【答案】B

【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，

所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，

整理，得：x2+x+c=0，

所以=1–4c>0，

又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，

所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，

即1+1+c<0，

综上则，

解得c<-2，

故选B．

7. 【答案】 C

【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；

抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；

x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；

综上所述，正确的结论有：①③④，

故选：C．

8. 【答案】B　 【解析】∵二次函数y＝(x－h)2＋ 1，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝h，∴二次函数值在x<h时，y随x的增大而减小，在x>h时，y随x的增大而增大，∴①当h＜1时，在1≤x≤3中，x＝1时二次函数有最小值，此时(1－h)2＋ 1＝5，解得h＝－1或h＝3(舍去)；②当1≤h≤3时，x＝h时，二次函数的最小值为1；③当h＞3时，在1≤x≤3中，x＝3时二次函数有最小值，此时，(3－h)2＋ 1＝5，解得h＝5或h＝1(舍去)，综上所述，h的值为－1或5.

二、填空题

9. 【答案】答案不唯一，如y＝2x2－1　[解析] ∵顶点坐标为(0，－1)，

∴该抛物线的解析式为y＝ax2－1.

又∵二次函数的图象开口向上，

∴a＞0，

∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2－1.

10. 【答案】y＝－x2＋2x＋3　[解析] ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，∴＝1，

解得b＝2.

∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c，解得c＝3.

故抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.

11. 【答案】a(1＋x)2

12. 【答案】y＝x2－4x＋5　[解析] 从表格中的数据可以看出，当x＝1和x＝3时，函数值y＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a(1－2)2＋1，解得a＝1，故二次函数的解析式为y＝(x－2)2＋1，即y＝x2－4x＋5.

13. 【答案】7

14. 【答案】8a　[解析] ∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，

∴BD＝BC＝2，

∴DC＝4.

∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，

∴E(0，4a)，

∴S四边形ACED＝S△ACD＋S△CDE＝DC·OE＝×4×4a＝8a.

15. 【答案】3－　[解析] 设点A的坐标为(0，b)，则B(，b)，C(，b)，D(，3b)，E(3 ，3b)．所以AB＝，DE＝3 －＝(3－).所以＝＝3－.

16. 【答案】(－1010，10102)　[解析] 由点A的坐标可得直线OA的解析式为y＝x.由AA1∥x轴可得A1(－1，1)，又因为A1A2∥OA，可得直线A1A2的解析式为y＝x＋2，进而得其与抛物线的交点A2的坐标为(2，4)，依次类推得A3(－2，4)，A4(3，9)，A5(－3，9)，…，A2019(－，10102)，即A2019(－1010，10102)．

三、解答题

17. 【答案】

解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－(x－)2＋.

∵－＜0，∴函数的最大值是.

答：演员弹跳的最大高度是米．

(2)当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4＝BC，所以这次表演成功．

18. 【答案】

解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠DAC＋∠DCA＝90°.

又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠DAC＝90°，

∴∠OAB＝∠DCA，∠OBA＝∠DAC.

又∵AB＝CA，∴△AOB≌△CDA，

∴OA＝CD＝1，AD＝OB＝2，

∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．

∵点C(3，1)在抛物线y＝x2＋bx－2上，

∴1＝×32＋3b－2，∴b＝－，

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.

19. 【答案】

解：(1)由题意，得

解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋5.

∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，∴抛物线与x轴没有交点．

(2)∵△AOB是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B在y轴上，

∴点B的坐标为(0，2)或(0，－2)．

设平移后的抛物线的解析式为y＝x2＋mx＋n.

①若抛物线过点A(－2，0)，B(0，2)，

有解得

∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2＋3x＋2，

∴该抛物线的顶点坐标为(－，－)．

而原抛物线的顶点坐标为(，)，

∴将原抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度即可获得符合条件的抛物线(其他平移方式合理也可)．

②若抛物线过点A(－2，0)，B(0，－2)，有

解得

∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2＋x－2，

∴该抛物线的顶点坐标为(－，－)．

而原抛物线的顶点坐标为(，)，

∴将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度即可获得符合条件的抛物线(其他平移方式合理也可)．

20. 【答案】

【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．

解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，

∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)

化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，

∴y1＝x2＋x－2；(4分)

(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，

①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，

把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，

得a2＝b；(6分)

②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，

把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，

得a2＋a＝－b；(8分)

(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝＝，m<n，

∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，

∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，

∵m<n，

∴点Q离对称轴x＝的距离比P离对称轴x＝的距离大，(10分)

∴|x0－|<1－，

∴0<x0<1.(12分)