高中数学北师大版必修51.2数列的函数特征学案设计

1.2　数列的函数特性

数列的单调性

阅读教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列问题．

(1)数列的函数特性

数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．

(2)数列的单调性

思考：(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗，反之成立吗？

[提示]　若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)＝2，数列an＝f(n)单调递增，但f(x)＝2在[1，＋∞)上不是单调递增．

(2)如何判断数列的单调性？

[提示]　比较数列中相邻的两项an与an＋1的大小来确定其单调性．

1．数列an＝n＋1是(　　)

A．递增数列　　　 B．递减数列

C．常数列 D．不能确定

A　[an＋1－an＝[(n＋1)＋1]－(n＋1)＝1＞0，故an＋1＞an，所以an＝n＋1是递增数列．]

2．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是________．

(0，＋∞)　[由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)．]

3．下列数列：

①1,2,22,23，…；

②1,0.5,0.52,0.53，…；

③7,7,7,7，…；

④－2,2，－2,2，－2，….

递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)

[答案]　①　②　④　③

【例1】　在数列{an}中，an＝n2－8n.

(1)画出{an}的图像；

(2)根据图像写出数列{an}的增减性．

[解]　(1)列表

描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…

图像如图所示．

(2)数列{an}在[1,4]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的．

画数列的图像的方法

数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．

1．已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图像，并判断增、减性．

[解]　图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．

【例2】　判断数列的增减性．

[解]　∵an＝，

∴an＋1＝＝.

法一：(作差法)an＋1－an＝－

＝

＝，

∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即an＋1>an，

∴数列为递增数列．

法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an>0.

∵＝＝＝＝1＋>1，∴an＋1>an，∴数列为递增数列．

法三：(构造函数法)令ƒ(x)＝(x≥1)，则

ƒ(x)＝＝，

∴函数ƒ(x)在[1，＋∞)上是增函数，

∴数列是递增数列．

判断数列增减性的方法

(1)作差比较法：

①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；

②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；

③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．

(2)作商比较法：

①若an＞0，则

当＞1时，数列{an}是递增数列；

当＜1时，数列{an}是递减数列；

当＝1时，数列{an}是常数列．

②若an＜0，则

当＜1时，数列{an}是递增数列；

当＞1，数列{an}是递减数列；

当＝1时，数列{an}是常数列．

2．(1)若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是(　　)

A．an＝2n　　　 B．an＝n2

C．an＝n D．an＝log2n

(2)若an＝n2＋bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是________．

(1)C　(2)(－3，＋∞)　[(1)由于函数f(x)＝x是减函数，故数列an＝n是递减数列，选C．

(2)由题意知an＋1－an＝[(n＋1)2＋b(n＋1)]－(n2＋bn)＝2n＋1＋b＞0恒成立，即2n＋1＋b＞0，b＞－2n－1恒成立，而n∈N＋时，－2n－1的最大值为－3(n＝1时)，所以b＞－3，即b的取值范围为(－3，＋∞)．]

[探究问题]

1．(1)数列{an}中，an＝1＋，试判断{an}的增减性；

(2)数列{an}中，an＝，试判断{an}的增减性．

[提示]　(1)因为函数y＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，所以数列an＝1＋是递减数列．

(2)由an＝＝1＋，由(1)可知，an＝是递减数列．

2．已知无穷数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？作出判断并求出来．

[提示]　an＝＝1＋，当n≤9时，an＜1，当n≥10时，an＞1，且随n的递增an递减，故数列{an}有最大项，其最大项为a10＝.

【例3】　在数列{an}中，an＝(n＋1)n(n∈N＋)．

(1)求证：数列{an}先递增后递减；

(2)求数列{an}的最大值．

思路探究：法一：先考虑数列{an}的单调性，然后利用单调性求最值．

法二：利用不等式组寻求最大值．

[解]　法一(单调性法)：(1)令＞1(n≥2)，

即＞1，整理得＞，解得n＜10.

令＞1，即＞1，

整理得＞，解得n＞9.

所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．

(2)由(1)知a9＝a10＝为最大值．

法二：(不等关系法)(1)假设数列{an}中存在最大项．

因为an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，

当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，

故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，

所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减．

(2)由(1)知a9＝a10＝为最大值．

1．(变条件)将例题中的“an＝(n＋1)n”换为“an＝－2n2＋9n＋3”如何求{an}中的最大项．

[解]　由an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋.

∵n为正整数，

∴当n＝2时，an取得最大值，

a2＝－2×22＋9×2＋3＝13.

即数列{an}的最大项为a2＝13.

2．(变结论)在例3中，若n的取值范围是n∈N＋，且n≤10，求数列{an}的最小项．

[解]　由例3知数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，所以a1最小，a1＝.

数列中最大项与最小项的两种求法

(1)若求最大项an，则an应满足若求最小项an，则an应满足

(2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．

1．判断一个数列的增减性，可利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．

2．有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列，，，，…的通项公式是an＝.(　　)

(2)数列的图像是一群孤立的点．(　　)

(3)数列1,0,1,0，…与数列0,1,0,1，…是同一数列．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)

A．递增数列 B．递减数列

C．摆动数列 D．常数列

A　[因为an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3>0，所以数列是递增数列．]

3．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)

A．1，，，，…                 B．－1,2，－3,4，…

C．－1，－，－，－，…                 D              ．1，，，…，

C　[由递增数列的知识，可知属于递增数列的是选项C、D；由无穷数列的知识，可知属于无穷数列的是选项A，B，C(用省略号)．故既是无穷数列又是递增数列的是选项C．]

4．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)且{an}递增，求实数k的取值范围．

[解]　因为an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，

an＝n2－kn，所以an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.

由于数列{an}递增，故应有an＋1－an>0，

即2n＋1－k>0，n∈N＋恒成立，分离变量得k<2n＋1，

故需k<3即可，

所以k的取值范围为(－∞，3)．