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高中数学3.3.2利用导数研究函数的极值课文课件ppt
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这是一份高中数学3.3.2利用导数研究函数的极值课文课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了题型一，题型二，题型三，求函数的最值等内容，欢迎下载使用。
1.了解函数的极值和最值的有关概念. 2.会用函数的导数求函数的极值和最值.
1.极值的概念已知函数y=f(x)及其定义域内一点x0,对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x,如果都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小值=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.
名师点拨(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其附近都有意义.(2)极值是一个局部概念,是相对某一点附近而言.(3)极值总是函数f(x)定义域中的内点,因而端点绝对不是函数的极值点.(4)函数f(x)在其定义域内的极值点可能不止一个,也可能没有.函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的一个极小值不一定小于极大值.
【做一做1】 在下图中x1是函数的极 值点,x2是函数的极 值点.(填“大”或“小”) 答案:大 小
2.求可导函数y=f(x)极值的步骤(1)求导数f'(x).(2)求方程f'(x)=0的所有实数根.(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果f'(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值;如果在f'(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值.
名师点拨极值点与导数为0的点的关系:①导数为0的点不一定是极值点.如函数f(x)=x3在x=0处的导数是0,但它不是极值点.对于可导函数,导数为0是点为极值点的必要不充分条件.②函数的导数不存在的点也可能是极值点.如函数f(x)=|x|,在x=0处,左侧(x<0时),f'(x)=-1<0,右侧(x>0时),f'(x)=1>0,当x=0时,f(x)=0,x=0是f(x)的极小值点,但f'(0)不存在.
【做一做2】 方程f'(x)=0的根一定是函数f(x)的极值点吗? 答案:不一定
3.求可导函数y=f(x)在[a,b]的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a,b)内的所有极值点.(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
名师点拨(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是对函数局部的函数值的比较;函数的最值表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值,需要极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性.(3)如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
【做一做3】 函数的最大值一定是函数的极大值吗?答案:不一定.
1.如何理解极值的概念?剖析:极大值与极小值统称为极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内,极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点处.
2.导数为零的点一定是极值点吗?剖析:可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处的导数f'(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是可导函数在点x0处的导数f'(x0)=0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点.
求函数的极值【例1】 求下列函数的极值:(1)y=f(x)=3x3-x+1;(2)f(x)=x2ex.分析:首先对函数求导,求得f'(x),然后求方程f'(x)=0的根,再检验方程根的左右两侧导数f'(x)的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
反思按照求函数极值的一般步骤求解即可.解答此类问题时要注意f'(x)=0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0左右两侧导数值异号,才能判断函数在x0处取得极值.解题时,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误.
反思(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题.(2)函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中:导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点;若函数在区间[a,b]上连续且可导,则其最大值应在极大值点或区间端点处取得,最小值应在极小值点或区间端点处取得.
易错题型【例3】 已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,求a,b的值.
错解f'(x)=3x2-2ax-b.由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,
错因分析在x=1处有极值10,则x=1是f'(x)=0的根.但f'(x)=0的根并不一定是极值点,故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x=1处有极值.
正解f'(x)=3x2-2ax-b.由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,
当a=3,b=-3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,所以f(x)单调递增,不存在极值,故应舍去.当a=-4,b=11时,满足题意.所以a=-4,b=11.
2函数y=x3-3的极大值是( )A.0B.1C.2D.不存在
1.了解函数的极值和最值的有关概念. 2.会用函数的导数求函数的极值和最值.
1.极值的概念已知函数y=f(x)及其定义域内一点x0,对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x,如果都有f(x)
名师点拨(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其附近都有意义.(2)极值是一个局部概念,是相对某一点附近而言.(3)极值总是函数f(x)定义域中的内点,因而端点绝对不是函数的极值点.(4)函数f(x)在其定义域内的极值点可能不止一个,也可能没有.函数的极大值与极小值没有必然的大小关系,函数的一个极小值不一定小于极大值.
【做一做1】 在下图中x1是函数的极 值点,x2是函数的极 值点.(填“大”或“小”) 答案:大 小
2.求可导函数y=f(x)极值的步骤(1)求导数f'(x).(2)求方程f'(x)=0的所有实数根.(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数f'(x)的符号如何变化.如果f'(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果f'(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值;如果在f'(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变,则f(x0)不是极值.
名师点拨极值点与导数为0的点的关系:①导数为0的点不一定是极值点.如函数f(x)=x3在x=0处的导数是0,但它不是极值点.对于可导函数,导数为0是点为极值点的必要不充分条件.②函数的导数不存在的点也可能是极值点.如函数f(x)=|x|,在x=0处,左侧(x<0时),f'(x)=-1<0,右侧(x>0时),f'(x)=1>0,当x=0时,f(x)=0,x=0是f(x)的极小值点,但f'(0)不存在.
【做一做2】 方程f'(x)=0的根一定是函数f(x)的极值点吗? 答案:不一定
3.求可导函数y=f(x)在[a,b]的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a,b)内的所有极值点.(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
名师点拨(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况,是对函数局部的函数值的比较;函数的最值表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值,需要极值和区间端点的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性.(3)如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.
【做一做3】 函数的最大值一定是函数的极大值吗?答案:不一定.
1.如何理解极值的概念?剖析:极大值与极小值统称为极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某个区间上或定义域内,极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点处.
2.导数为零的点一定是极值点吗?剖析:可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处的导数f'(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是可导函数在点x0处的导数f'(x0)=0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点.
求函数的极值【例1】 求下列函数的极值:(1)y=f(x)=3x3-x+1;(2)f(x)=x2ex.分析:首先对函数求导,求得f'(x),然后求方程f'(x)=0的根,再检验方程根的左右两侧导数f'(x)的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
反思按照求函数极值的一般步骤求解即可.解答此类问题时要注意f'(x)=0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0左右两侧导数值异号,才能判断函数在x0处取得极值.解题时,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误.
反思(1)利用求函数最值的步骤求解此类问题.(2)函数最大值点及最小值点必在下面各种点之中:导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点;若函数在区间[a,b]上连续且可导,则其最大值应在极大值点或区间端点处取得,最小值应在极小值点或区间端点处取得.
易错题型【例3】 已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,求a,b的值.
错解f'(x)=3x2-2ax-b.由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,
错因分析在x=1处有极值10,则x=1是f'(x)=0的根.但f'(x)=0的根并不一定是极值点,故对求得的参数的值要进行验证是否满足在x=1处有极值.
正解f'(x)=3x2-2ax-b.由题意得3-2a-b=0,1-a-b+a2=10,
当a=3,b=-3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,所以f(x)单调递增,不存在极值,故应舍去.当a=-4,b=11时,满足题意.所以a=-4,b=11.
2函数y=x3-3的极大值是( )A.0B.1C.2D.不存在
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