专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（解析版）

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专题03 导数及其应用

1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设函数．若，则a=_________．
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则=ex–1．
当x0．
所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）=ex–a．
当a≤0时，>0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增，
故f（x）至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由=0可得x=lna．
当x∈（–∞，lna）时，0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）．
（i）若0≤a≤，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．
（ii）若a>，则f（lna）0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．
由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，
．
故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．
综上，a的取值范围是（，+∞）．
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【解析】设h(x)=f(x)−2x−c，则h(x)=2lnx−2x+1−c，
其定义域为(0，+∞)，.
（1）当0