初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形22.4 图形的位似变换课后测评

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一、选择题
1.如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D，点C与点E分别是对应点
D．AE∶AD是相似比
解析：相似比等于这两个三角形的对应边的比，即AE∶AC或AD∶AB或DE∶BC是相似比．
2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的相似比是( )
eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C．2 D.3
解析：根据△ABC与△DEF是位似图形，可知△ACB∽△DFE，△OAC∽△ODF，可求得AC∶DF＝1∶2，所以△ABC与△DEF的相似比是1∶2.故选A
3.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是( )
A.eq \f(1,6) cm B.eq \f(1,3) cm C.eq \f(1,2) cm D．1 cm
解析： ∵AB∥CD，∴△ODC∽△OBA，∴eq \f(CD,6)＝eq \f(2,12)，∴CD＝1(cm)
4.如图，若eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OE)＝eq \f(OC,OF)＝eq \f(1,2)，则下列说法中正确的有( )
①△ABC与△DEF是相似图形；
②△ABC与△DEF的周长之比是eq \f(1,2)；
③△ABC与△DEF是位似图形；
④△DEF与△ABC的面积之比是4∶1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由位似的性质可知，选D
5.如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为eq \f(1,3)，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( )
A．(2，1) B．(2，0)
C．(3，3) D．(3，1)
解析： 由A(6，3)，B(6，0)，知线段AB＝3.因为AB⊥x轴，线段AB到线段CD的变换是以原点O为位似中心且相似比为eq \f(1,3)的位似变换，所以CD＝1，OD＝2，即C(2，1)．故选A.
二、填空题
6.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的eq \f(4,9)，则AB∶DE＝________．
解析：∵位似图形一定是相似图形，∴△ABC∽△DEF.由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得AB∶DE＝eq \r(\f(4,9))＝2∶3.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．
解析：如图，作出△AOB的位似图形△AO′B′，过点B′作x轴的垂线，垂足为C，过点B作x轴的垂线，垂足为E.
∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，
∴eq \f(AO,AO′)＝eq \f(BE,B′C).
∵点A的坐标为(3，0)，点O′的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(2，－3)，
∴AO＝3，AO′＝4，BE＝3，∴eq \f(3,4)＝eq \f(3,B′C)，
∴B′C＝4.
易得△O′B′C∽△OBE，∴eq \f(OE,CO′)＝eq \f(BE,B′C)，
即eq \f(2,CO′)＝eq \f(3,4)，∴CO′＝eq \f(8,3)，∴OC＝eq \f(8,3)－1＝eq \f(5,3)，
∴点B′的坐标为(eq \f(5,3)，－4)．
8.如图2，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，eq \f(OD,DA)＝eq \f(2,3)，则△DEF与△ABC的面积比是________．
解析： ∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，∴△DEF∽△ABC.又∵eq \f(OD,DA)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(OD,OA)＝eq \f(2,5)，即△DEF与△ABC的相似比为2∶5，∴△DEF与△ABC的面积比是4∶25.
三、解答题
9.如图22－4－25，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使eq \f(AB,A2B2)＝eq \f(1,2).
解析：(1)△A1B1C1如图所示，A1(1，－3)，B1(4，－2)，C1(2，－1)．
(2)△A2B2C2如图所示．
10.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．
解析：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，
理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，
∴==，
∴==，
解得：EF=．
能力提升 思维拓展 探究重点
1.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A．－eq \f(1,2)a B．－eq \f(1,2)(a＋1)
C．－eq \f(1,2)(a－1) D．－eq \f(1,2)(a＋3)
解析：把图形向右平移1个单位，则点C与坐标原点O重合，点B′的横坐标变为a＋1，此时△ABC以原点为位似中心的位似图形是△A′B′C，则与点B′对应的点B的横坐标为－eq \f(1,2)(a＋1)，把该点向左平移1个单位，则得到点B的坐标为－eq \f(1,2)(a＋1)－1，即为－eq \f(1,2)(a＋3)．
2.如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
解析：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=
;
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=
.
S最小=