初中数学沪科版九年级上册22.1 比例线段随堂练习题

课时训练（九）

【22.1  第九课时 相似多边形和比例线段】

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一、选择题

1.下列图形中不是相似图形的是(　　)

A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片

B．用放大镜将一个图案放大过程中的原有图案和放大图案

C．某人的侧身照片和正面照片

D．一棵树与它倒映在水中的像

解析：选C

2.下列多边形中，一定相似的是(　　)

解析：选C

3.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（　　）S2．

A.＞         B.=          C.＜        D.无法确定

解析：根据黄金分割的概念得：，
则==1，即S1=S2．故选B．

4.若b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c等于(　　)

A．9∶7    B．7∶3    C．3∶7    D．7∶9

解析： 由b是a，c的比例中项，根据比例中项的定义，可得a∶b＝b∶c，又由a∶b＝7∶3，即可求得答案．故选B

5.已知a＝1，b＝，c＝，那么(　　)

A．a是b，c的比例中项 

B．c是a，b的比例中项 

C．b是a，c的比例中项 

D．1是a，b，c的第四比例项

解析：∵()2＝1×，∴b2＝ac，故b是a，c的比例中项．故选C

6.如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点P，则线段AP与AB的比是(　　)

A.∶2  B．1∶    C.∶   D．1∶

解析：连接AC，BC.根据题意可知△ABC是等腰直角三角形，且AP＝AC.

设AC＝BC＝AP＝x.根据勾股定理，得AB2＝2AC2＝2x2，则AB＝x，

∴AP∶AB＝x∶x＝1∶.故选D

7.有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（　　）.

A.1个     B.2个      C.3个      D.4个

解析：①、根据第四比例项的概念，显然正确；
②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；
③、根据黄金分割的概念，正确；
④、根据黄金分割的概念：AC=，错误．故选B．

二、填空题

8.如图，△ABC与△DEF相似，且AC，BC的对应边分别是DF，EF，则△ABC与△DEF的相似比是________．

解析：由题意，得AB与DE是对应边，则△ABC与△DEF的相似比为＝＝

9.当长b＝________时，图①中的两个矩形相似；当钝角α＝________°时，图②中两个菱形相似．

解析： 两个多边形相似，必须满足对应角相等，对应边的比相等，两个矩形对应角都相等，根据2.5∶1.5＝5∶3，b∶1＝5∶3，解得b＝.两个菱形对应边的比都相等，要求对应角相等，∴α＝180°－45°＝135°.

10.在比例尺为1∶50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是______m.

解析：根据“比例尺＝”可求解．设甲、乙两地的实际距离为xcm，则有1∶50000＝3∶x，解得x＝150000，150000cm＝1500m.

11.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．

解析：第一个三角形的周长为K+2；
第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；
第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）
…
所以第2008个三角形的周长为K2007（K+2）.

三、解答题

12.如图17－K－3，在△ABC中，若AB＝24，AE＝6，EC＝10，＝.

（1）求AD的长；

（2）试说明＝.

解析：（1）设AD＝x，则BD＝24－x.

由＝，

得＝，解得x＝9.

经检验，x＝9是原方程的解，且符合题意，

∴AD＝9.

（2）由AB＝24，AD＝9，得BD＝15.

∵＝＝，＝＝，

∴＝.

13 . 如图，已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD∶BD＝3∶2，AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，求AD的长．

解析：∵AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，

∴AB＝×3.6＝6.

又∵AD∶BD＝3∶2，

设AD＝3x，BD＝2x，

则AB＝AD－BD＝x＝6，∴AD＝18.

14.已知：，求代数式的值．

解析：设=t，

∴，解得，，

∴==．

15.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.

解析：∵

∴

∴

则分两种情况：（1），即,

  （2）,即

所以当，过点（-1,2）时，

      当，过点（-1,2）时，.

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1.如图22－1－9所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝3，BC＝4.

（1）线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；

（2）在这个图形中，是否还有其他成比例的四条线段？如果有，请至少写出两组．

解析：（1）是成比例线段．理由如下：

∵AC＝3，BC＝4，

∴由勾股定理，得AB＝5.

∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

即×3×4＝×5×CD，

∴CD＝2.4.

由勾股定理，得AD＝1.8.∴BD＝3.2，

∴＝＝，＝＝，∴＝，

∴线段AD，CD，CD，BD是成比例线段．

（2）有，＝，＝(答案不唯一)．

2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边    

长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　                         　　

解析：（1）∵BD=DC=AC．
则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；

（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°．
∴△CDA是黄金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．
②△BAC是黄金三角形，
∴，
∵BC=2，∴AC=．
∵BA=BC=2，BD=AC=，
∴AD=BA-BD=2-（）=3-，

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．
ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点 P3．

3.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．

（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；

（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；

（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）

解析：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，

根据题意得x（20﹣x）=99，

整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，

当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，

而AB＞AD，

所以x=11，即AB的长为11cm；

（2）不能．理由如下：

设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，

根据题意得x（20﹣x）=101，

整理得x2﹣20x+101=0，

因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，

所以方程没有实数解，

所以这个矩形的面积可能等于101cm2；

（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，

根据题意得20﹣x=x，

解得x=10（﹣1），

则20﹣x=10（3﹣），

所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．