专题06 导数 专项练习-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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专题五 《导数》专项练习
一．选择题（共8小题）
1．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝（2x﹣1）lnx，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝（2x﹣1）lnx，∴f′（x）＝2lnx+2-1x，
∴f′（1）＝1
∵函数f（x）是偶函数，
∴f′（﹣1）＝﹣1，
∴曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，
故选：B．
2．若函数f（x）＝x-13sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，13] C．[-13，13] D．[﹣1，-13]
【解答】解：函数f（x）＝x-13sin2x+asinx的导数为f′（x）＝1-23cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0恒成立，
即为1-23cos2x+acosx≥0，
即有53-43cos2x+acosx≥0，
设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
当t＝0时，不等式显然成立；
当0＜t≤1时，3a≥4t-5t，
由4t-5t在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，
可得3a≥﹣1，即a≥-13；
当﹣1≤t＜0时，3a≤4t-5t，
由4t-5t在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤13．
综上可得a的范围是[-13，13]．
另解：设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，
解得a的范围是[-13，13]．
故选：C．
3．已知f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x∈（﹣∞，0]时，f′（x）＞1，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x+2）≥x﹣3的解集为（　　）
A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x，则g′（x）＝f（x）﹣1，
∵f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），
则g（﹣x）＝f（﹣x）+x＝﹣f（x）+x＝﹣g（x），即g（x）为奇函数，
∵x∈（﹣∞，0]时，f′（x）＞1，即g′（x）＞0，
∴g（x）在∈（﹣∞，0]上单调递增，根据奇函数的性质可知，g（x）在R上单调递增
∵f（2x﹣1）﹣f（x+2）≥x﹣3，
∴f（2x﹣1）﹣（2x﹣1）≥f（x+2）﹣（x+2），
∴g（2x﹣1）≥g（x+2），
∴2x﹣1≥x+2
解可得x≥3
故选：B．
4．已知函数f（x）＝ax3+（3﹣a）x在[﹣1，1]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（　　）
A．[-32，3] B．[-32，12] C．[﹣3，3] D．[﹣3，12]
【解答】解：当a＝﹣3时，f（x）＝﹣3x3+6x，x∈[﹣1，1]，y′＝﹣9x2+6＝0，可得x＝±63，x∈[﹣1，-63），（63，1]，y′＜0，函数是减函数，x＝﹣1时，f（﹣1）＝﹣3，f（x）极大值为：f（63）=463＞3，a＝﹣3，不满足条件，
故排除C，D．
当a＝12时，f（x）＝12x3﹣9x，x∈[﹣1，1]，y′＝36x2﹣9＝0，可得x＝±12，x∈[﹣1，-12），（12，1]，y′＞0，函数是增函数，x=-12时，极大值为：-128+92=3，满足题意．排除A．
故选：B．
5．函数f（x）＝lnx+12x2﹣ax（x＞0）在区间[12，3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（52，3] B．[52，103） C．（52，103] D．[2，103]
【解答】解：f'(x)=1x+x-a，依题意，y＝f′（x）在区间[12，3]上有且仅有一个变号零点，
令f′（x）＝0，则a=x+1x，令g(x)=x+1x，x∈(0，+∞)，
由双勾函数的性质可知，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）min＝g（1）＝2，
又g(12)=g(2)=52，g(3)=103，
结合g(x)=x+1x在（0，+∞）上的图象可得，52＜a≤103．
故选：C．

6．已知函数f(x)=exx2+2klnx-kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（　　）
A．(-∞，e24] B．(-∞，e2] C．（0，2] D．[2，+∞）
【解答】解：∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=ex(x-2)x3+2kx-k=(ex-kx2)(x-2)x3，
∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，
∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根，
∴ex﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点，
即k=exx2在x＞0上无变号零点，令g（x）=exx2，
因为g'（x）=ex(x-2)x3，
所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增，
所以g（x）的最小值为g（2）=e24，
所以必须k≤e24，
故选：A．
7．已知函数 f(x)=e-x+mx+m2，x＜0，ex(x-1)，x≥0（e为自然对数的底），若方程f（﹣x）+f（x）＝0有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，e） B．（e，+∞） C．（0，2e） D．（2e，+∞）
【解答】解：设F（x）＝f（x）+f（﹣x），可得F（﹣x）＝F（x），即有F（x）为偶函数，
由题意考虑x＞0时，F（x）有两个零点，
当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝ex﹣mx+m2，
即有x＞0时，F（x）＝xex﹣ex+ex﹣mx+m2=xex﹣mx+m2，
由F（x）＝0，可得xex﹣mx+m2=0，
由y＝xex，y＝m（x-12）相切，设切点为（t，tet），
y＝xex的导数为y′＝（x+1）ex，可得切线的斜率为（t+1）et，
可得切线的方程为y﹣tet＝（t+1）et（x﹣t），
由切线经过点（12，0），可得﹣tet＝（t+1）et（12-t），
解得t＝1或-12（舍去），
即有切线的斜率为2e，
由图象可得m＞2e时，直线与曲线有两个交点，
综上可得m的范围是（2e，+∞）．
故选：D．

8．设函数f（x）＝xlnx，g（x）=f'(x)x，给定下列命题
①不等式g（x）＞0的解集为（1e，+∞）；
②函数g（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减；
③若x1＞x2＞0时，总有m2（x12﹣x22）＞f（x1）﹣f（x2）恒成立，则m≥1；
④若函数F（x）＝f（x）﹣ax2有两个极值点，则实数a∈（0，1）．
则正确的命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵函数f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1，
则g（x）=lnx+1x，g′（x）=-lnxx2，
对于①，g（x）＞0即lnx+1x＞0，lnx+1＞0，即x＞1e故正确，
对于②，g′（x）=-lnxx2，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，故错误，
对于③，若x1＞x2＞0时，总有m2（x12﹣x22）＞f（x1）﹣f（x2）恒成立，
则m2x12-x1lnx1＞m2x22-x2lnx2＞0在（0，+∞）恒成立，
令H（x）=m2x2﹣xlnx，（x＞0），
只需m2＞lnxx（x＞0）恒成立，
即m2＞(lnxx)max恒成立，
令h（x）=lnxx（x＞0），则h′（x）=1-lnxx2，
令h′（x）＝0，解得：x＝e，
故h（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故h（x）max＝h（e）=1e，
故m2＞1e，m＞2e，故m≥1成立，
对于④，若函数F（x）＝f（x）﹣ax2有2个极值点，
则F′（x）＝f′（x）﹣2ax有2个零点，
即lnx+1﹣2ax＝0，2a=lnx+1x，
令G（x）=lnx+1x，则G′（x）=-lnxx2，
G（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
G（1）＝1，即2a∈（0，1），a∈（0，12），故错误，
综上，只有①③正确，
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．已知函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0，设a＝f（0），b=f(-12)，c＝f（3），则（　　）
A．a＜b B．c＜a C．c＜b D．a＞b
【解答】解：因为f（x）＝f（2﹣x），
所以函数的图形关于x＝1对称，
因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0，即x＜1时，f'（x）＞0，函数单调递增
因为a＝f（0），b=f(-12)，c＝f（3）＝f（﹣1），
则c＜b＜a．
故选：BCD．
10．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f'（x）+xf（x）＝lnx，f(1)=12，则下列结论不正确的是（　　）
A．xf（x）在（0，+∞）单调递增
B．xf（x）在（1，+∞）单调递增
C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值12
D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值12
【解答】解：由x2f'（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，则xf'(x)+f(x)=lnxx，即[xf(x)]'=lnxx，
设g（x）＝xf（x），g'(x)=lnxx＞0⇒x＞1，g'（x）＜0⇒0＜x＜1，
则g（x）＝xf（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减
即当x＝1时，函数g（x）＝xf（x）取得极小值g(1)=f(1)=12．
故选：AC．
11．对于函数f(x)=lnxx2，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在x=e处取得极大值12e
B．f（x）有两个不同的零点
C．f(22)＜f(π)＜f(3)
D．若f(x)＜k-1x2在（0，+∞）上恒成立，则k＞e2
【解答】解：f′（x）=1-2lnxx3，x＞0，
易得，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x=e时，函数取得极大值，也是最大值f（e）=12e，A正确；
因为f（1）＝0，x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0，
故函数的值域为（-∞，12e]，只有一个零点1，B错误；
22＜1＜e＜3＜π，f（22）＜0，
f（x）在[e，+∞）上单调递减，
所以f（22）＜f（π）＜f（3），C正确．
若f（x）＜k-1x2对任意x∈（0，+∞）恒成立，
则f（x）+1x2＜k对任意x∈（0，+∞）恒成立，
设g（x）＝f（x）+1x2=lnx+1x2，g′（x）=-2lnx-1x3，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e-12，令g′（x）＜0，解得：x＞e-12，
故g（x）在（0，e-12）递增，在（e-12，+∞）递减，
故g（x）max＝g（e-12）=e2，
故k＞e2，故D正确，
故选：ACD．

12．函数f（x）＝ex﹣asinx，x∈（﹣π，+∞），下列说法正确的是（　　）
A．当a＝﹣1时，f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y+1＝0
B．当a＝﹣1时，f（x）存在唯一极小值点x0且﹣1＜f（x0）＜0
C．存在a＞0，f（x）在（﹣π，+∞）上有且只有一个零点
D．对任意a＜0，f（x）在（﹣π，+∞）上均存在零点
【解答】解：选项A，当 a＝﹣1 时，f（x）＝ex+sinx，x∈（﹣π，+∞），
所以 f（0）＝1，故切点为 （0，1），f′（x）＝ex+cosx，
所以切线斜率 k＝f′（0）＝2，
故直线方程为：y﹣1＝2（x﹣0），即切线方程为：2x﹣y+1＝0，选项A正确．
选项B，选项 B，当 a＝﹣1 时，f（x）＝ex+sinx，x∈（﹣π，+∞），
f′（x）＝ex+cosx，f′′（x）＝ex﹣sinx＞0 恒成立，所以 f′（x） 单调递增，
又f'(-π2)=2＞0，f'(-3π4)=e-3π4+cos(-3π4)=1e3π4-22，
(e3π4)2=e3π2＞e＞2，所以e3π4＞2，即 1e3π4＜22，所以 f'(-3π4)＜0，
所以存在 x0∈(-3π4，-π2)，使得 f′（x0）＝0，即 ex0+cosx0=0
则在 （﹣π，x0） 上，f′（x）＜0，在 （x0+∞） 上，f′（x）＞0，
所以在 （﹣π，x0） 上，f（x） 单调递减，在 （x0+∞） 上，f（x） 单调递增，
所以 f（x） 存在唯一的极小值点 x0．
f(x0)=ex0+sinx0=sinx0-cosx0=2sin(x0-π4)，
x0∈(-3π4，-π2)，则 x0-π4∈(-π，-3π4)，2sin(x0-π4)∈(-1，0)，选项B正确．
对于选项C，D，f（x）＝ex﹣asinx，x∈（﹣π，+∞），
令 f（x）＝0，即 ex﹣asinx＝0，所以 1a=sinxex，
令F(x)=sinxex，x∈(-π，+∞)，
F'(x)=cosx-sinxex=-2sin(x-π4)ex，令 F′（x）＝0，得 x=kπ+π4，k≥-1，k∈Z，
由函数 y=2sin(x-π4) 的图像和性质可知：
当x∈(π4+2kπ，2kπ+5π4) 时，2sin(x-π4)＞0，F(x) 单调递减；
当x∈(5π4+2kπ，2kπ+π4+2π) 时，2sin(x-π4)＜0，F(x) 单调递增．
所以 x=2kπ+5π4，k∈Z，k≥-1 时，F（x） 取得极小值，即当 x=-3π4，5π4，⋯⋯ 时 F（x） 取得极小值，
又 sin(-3π4)e-3π4＜sin(5π4)e5π4＜⋯．．，即 F(-3π4)＜F(5π4)＜⋯⋯
所以 x=2kπ+π4，k∈Z，k≥0 时，F（x） 取得极小值，即当 x=π4，9π4，⋯．．时 F（x） 取得极大值，
即当 x=π4，9π4，⋯．．时 F（x） 取得极大值，又 sin(π4)eπ4＜sin(9π4)e9π4＜⋯⋯，即 F(π4)＞F(9π4)＞⋯⋯，
所以 F(x)≤F(π4)=22eπ4，
所以当 x∈（﹣π，+∞） 时，-22e3π4≤F(x)≤22eπ4，
当 1a=22eπ4时，即 a=2eπ4 时，y=-1a 与 F(x)=sinxex 的图象只有一个交点，
即存在a＞0，f（x） 在 （﹣π，+∞） 上有且只有一个零点，故C正确．
所以当 1a＜-22e3π4，即 -2e34＜a＜0 时，f（x） 在 （﹣π，+∞） 上无零点，
所以D不正确．
故选：ABC．
三．填空题（共4小题）
13．若直线y＝4x+4与曲线y＝mex有公共点，则实数m的最大值是　4　．
【解答】解：由题意知，4x+4﹣mex＝0在R上有实数根，
即m=4x+4ex在R上有实数根．
令f（x）=4x+4ex，
则f′（x）=-4xex，
当x＞0时，f′（x）＜0，
当x＜0时，f′（x）＞0，
函数在f（x）在（﹣∞，0）内单增，在（0，+∞）内单减，
所以f（x）≤f（0）＝4，
∴m≤4
因此实数m的最大值4，
故答案为：4．
14．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）若函数f（x）在x＝1处有极值10，则b的值为　﹣11　．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b
则f'(1)=3+2a+b=0f(1)=1+a+b+a2=10，
当a=4b=-11时，f'（x）＝3x2+8x﹣11，△＝64+132＞0，所以函数有极值点；
当a=-3b=3，所以函数无极值点；
则b的值为：﹣11．
故答案为：﹣11．
15．已知函数f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2，若存在实数x0，使得f（x0）≤12成立，则实数m＝　12　．
【解答】解：f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2＝（x﹣m）2+（ex﹣m）2，
则存在实数 x0，使得 f(x0)⩽12 成立，等价于 f(x0)min⩽12，
则可作是点 P(x0，ex0) 与点 Q（m，m） 距离的平方的最小值小于等于 12，
因为 P 在曲线 y＝ex 上，点 Q 在直线 y＝x 上，
则|PQ|的最小值与 y＝ex 相切且与 y＝x 平行的直线与 y＝x 的距离，
对于 y＝ex，y′＝ex，令 ex＝1，解得 x＝0，则切点为 M（0，1），
即点 M（0，1）到直线 y＝x 的距离最小，且距离为 12=22，(22)2=12，
要使 f(x0)⩽12，则 f(x0)=12，此时 MQ 垂直于直线 y＝x，
则 kMQ=m-1m=-1，解得 m=12．
故答案为：12．

16．已知函数f（x）＝ax2+2x﹣1，若对任意x∈R，f[f（x）]≤0恒成立，则实数a的最大值是　1-52　．
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝2x﹣1，此时f[f（x）]＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3≤0不恒成立，不满足条件．
当a＞0时，f（x）＝ax2+2x﹣1定义的抛物线开口向上，f[f（x）]≤0不可能恒成立，
故a＜0，
f（x）＝ax2+2x﹣1的对称轴为x=-22a=-1a，
函数f（x）的最大值f（-1a）=-4a-44a=-1-1a＜-1a，
设t＝f（x），则t≤﹣1-1a，即﹣1-1a在对称轴x=-1a的左边，则函数f（t）在（﹣∞，﹣1-1a]上为增函数，
则f（t）≤f（﹣1-1a）＝a（﹣1-1a）2+2（﹣1-1a）﹣1＝a﹣1-1a，
要使若对任意x∈R，f[f（x）]≤0恒成立，
则等价为f[f（x）]＝f（t）max≤0，
即a﹣1-1a≤0，即a2﹣a﹣1≥0，
得a≥1+52或a≤1-52，
∵a＜0，
∴a≤1-52即a的最大值为1-52，
故答案为：1-52

四．解答题（共7小题）
17．已知函数f（x）=lnxx-ax，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；
（3）设b＞1，求f（x）在[1b，b]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'(x)=1-lnx-ax2x2，
由题意，f'(1)=f(1)-(-1)1-2，解得a＝1；
（2）证明：由（1）得，f'(x)=1-x2-lnxx2，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；
（3）因为0＜1b＜1＜b，由（2）知，f（x）在[1b，b]上的最大值为f（1）＝﹣1，
设g(b)=f(b)-f(1b)=(b+1b)lnb-b+1b，则g'(b)=(1-1b2)lnb，
因为b＞1，所以g′（b）＞0，故g（b）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（b）＞g（1）＝0，故f(b)＞f(1b)，
∴f（x）在[1b，b]上的最小值为f(1b)=-blnb-1b．
18．已知x＝1为函数f（x）＝（x2﹣ax）lnx+x的一个极值点．
（1）求实数a的值，并讨论函数f（x）的单调性；
（2）若方程f（x）＝mx2+2x有且只有一个实数根，求实数m的值．
【解答】解：（1）f（x）＝（x2﹣ax）lnx+x，x∈（0，+∞），
∴f'（x）＝x+（2x﹣a）lnx﹣（a﹣1），
∵x＝1为函数f（x）＝（x2﹣ax）lnx+x的一个极值点，
∴f'（1）＝1﹣（a﹣1）＝0，∴a＝2，经验证，符合题意．
故f（x）＝（x2﹣2x）lnx+x，f'（x）＝x+（2x﹣2）lnx﹣1＝（x﹣1）（1+2lnx），
令f'（x）＝0，解得x＝1或x=ee．
当x∈(0，ee)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调道递增；
当x∈(ee，1)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（2）方程f（x）＝（x2﹣2x）lnx+x＝mx2+2x，
整理得（x2﹣2x）lnx﹣x＝mx2，因为x∈（0，+∞），
所以有m=(x2-2x)lnx-xx2=(x-2)lnx-1x，
令g(x)=(x-2)lnx-1x=(1-2x)lnx-1x，则g'(x)=2lnx+x-1x2，
令h（x）＝2lnx+x﹣1，则h'(x)=2x+1＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵h（1）＝0，
当x∈（0，1）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x））单调递增；
∴g（x）min＝g（1）＝﹣1＜0，
∵当x→0或x→+∞时，g（x）→+∞，
∴方程f（x）＝mx2+2x有且只有一个实数根时，实数m＝﹣1．
19．设函数f（x）＝ln（x+a）+x2
（Ⅰ）若当x＝﹣1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne2．
【解答】解：（Ⅰ）f'(x)=1x+a+2x，
依题意有f'（﹣1）＝0，故a=32．
从而f'(x)=2x2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32．
∵f（x）的定义域为(-32，+∞)，
当-32＜x＜-1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜-12时，f'（x）＜0；当x＞-12时，f'（x）＞0．
从而，f（x）分别在区间(-32，-1)，(-12，+∞)单调增加，在区间(-1，-12)单调减少．
（Ⅱ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），f'(x)=2x2+2ax+1x+a．
方程2x2+2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣8．
（ⅰ）若△＜0，即-2＜a＜2，在f（x）的定义域内f'（x）＞0，函数单调递增，故f（x）无极值．
（ⅱ）若△＝0，则a=2或a=-2．
若a=2，x∈(-2，+∞)，f′（x）=(2x+1)2x+2
当x=22时，f'（x）＝0，
当x∈(-2，22)∪(22，+∞)时，f'（x）＞0，所以f（x）无极值．
若a=-2，x∈(2，+∞)，f'(x)=(2x-1)2x-2＞0，f（x）也无极值．
（ⅲ）若△＞0，即a＞2或a＜-2，则2x2+2ax+1＝0有两个不同的实根x1=-a-a2-22，x2=-a+a2-22．
当a＜-2时，a2＞a2﹣2，则a＜a2-2
∴a2＜a2-22，x1+a=a-a2-22＜0，
∴x1＜﹣a，
∵a＜-2，a2＞a2﹣2，
∴-a＞a2-2．
x2+a=a+a2-22＜0，
∴x2＜﹣a，从而f'（x）在f（x）的定义域内没有零点，
故f（x）无极值．
当a＞2时，a2＞a2﹣2，
∵x1=-a-a2-22，x2=-a+a2-22．
∴x1+a=a-a2-22＞0，x2+a=a+a2-22＞0，
∴x1＞﹣a，x2＞﹣a，f'（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，
由极值判别方法知f（x）在x＝x1，x＝x2取得极值．
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为(2，+∞)．
由于x1+x2＝﹣a，x1x2=12，
则f（x）的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)+x12+ln(x2+a)+x22=ln12+a2-1＞1-ln2=lne2．
20．已知函数f(x)=exx+a(x-lnx)(a∈R)．
（Ⅰ）当a＝﹣e时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求参数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f(x)=exx+a(x-lnx)，定义域（0，+∞）．
f'(x)=ex(x-1)x2+a(x-1)x=(x-1)(ex+ax)x2，
当a＝﹣e时，f'(x)=(x-1)(ex-ex)x2，由于ex≥ex在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增．
故f（x）min＝f（1）＝a+e＝0．
（Ⅱ）f'(x)=(x-1)(ex+ax)x2，
①当a＝﹣e时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增．
∴f（x）min＝f（1）＝a+e＝0，f（x）只有一个零点．
②当a＞﹣e时，ax＞﹣ex，故ex+ax＞ex﹣ex≥0在（0，+∞）恒成立，
故f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增．
f（x）min＝f（1）＝a+e＞0．故当a＞﹣e时，f（x）没有零点．
③当a＜﹣e时，令ex+ax＝0，得exx=-a，
令φ(x)=exx，φ'(x)=(x-1)exx2，φ（x）在（0，1）单调递减，φ（x）在（1，+∞）单调递增．
∴φ（x）min＝φ（1）＝e，
φ（x）在（0，+∞）有两个零点x1，x2，0＜x1＜1＜x2，
f（x）在（0，x1）单调递减，在（x1，1）单调递增，在（1，x2）单调递减，在（x2，+∞）单调递增，
f（1）＝a+e＜0，又x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
此时f（x）有两个零点，综上f（x）有两个零点，则a＜﹣e．
21．设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，g（x）=1x-eex，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）＝2ax-1x=2ax2-1x（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；
当a＞0时，由f′（x）＝0，得x=±12a=±2a2a，
∴当x∈（0，2a2a）时，f′（x）＜0，当x∈（2a2a，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，2a2a）上为减函数，在（2a2a，+∞）上为增函数；
综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，2a2a）上为减函数，在（2a2a，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即1x-eex＞0，
即证1x＞eex，也就是证exx＞e，
令h（x）=exx，则h′（x）=ex(x-1)x2，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min＝h（1）＝e，
即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）由 （Ⅱ） 知，当 x＞1 时，g（x）＞0，
当a≤0，x＞1时，f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx＜0，
故当f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立时，必有a＞0，
当 0＜a＜12 时 ，12a＞1，
由 （Ⅰ）有 f(12a)＜f(1)=0，而 (12a)＞0，
∴此时 f（x）＞g（x） 在区间 （1，+∞） 内不恒成立；
当 a⩾12 时，令 h（x）＝f（x）﹣g（x）（x≥1），
当x＞1 时 ，h'(x)=2ax-1x+1x2-e1-x
＞x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2＞x2-2x+1x2＞0，
因此 h（x） 在区间（1，+∞）上单调递增，
又∵h（1）＝0，∴当 x＞1 时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＞0，
即 f（x）＞g（x） 恒成立，
综上 ，a∈[12，+∞)．
22．已知a为常数，函数f(x)=xlnx-12ax2，
（1）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）
①求实数a的取值范围；
②求证：f(x1)＜-1e且x1x2＞1（其中e为自然对数的底）
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝1+lnx，当x∈（0，1e）时，f′（x）＜0，
当x∈（1e，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f(x)min=f(1e)=-1e；
（2）①f′（x）＝1+lnx﹣ax，由于f（x）有两个极值点，可得1+lnx﹣ax＝0有两个不同解，即1+lnxx=a有两个不同解，
令φ（x）=1+lnxx，则φ′（x）=-lnxx2，φ′（1）＝0，当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，
∴φ（x）max＝φ（1）＝1，且φ（1e）＝0，由数形结合可得a∈（0，1），且x1∈（1e，1），
②由①可得，1+lnx1＝ax1，f（x1）=x1lnx1-12ax12，消去a可得
f(x1)=x1lnx1-12x1(1+lnx1)=12（x1lnx1﹣x1），x1∈(1e，1)，构造函数g（x）＝xlnx﹣x，x∈（1e，1），
g′（x）＝lnx＜0，∴g（x）在（1e，1）上单调递减，则f(x1)＜f(1e)=-1e，
再证x1x2＞1：由①可得lnx1＝ax1﹣1，lnx2＝ax2﹣1，将两式相加可得lnx1x2＝a（x1+x2）﹣2，
两式相减可得lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），即a=lnx1-lnx2x1-x2，代入lnx1x2＝a（x1+x2）﹣2，可得
lnx1x2=(lnx1-lnx2)(x1+x2)x1-x2-2=lnx1x2(1+x1x2)x1x2-1-2，令t=x1x2∈(0，1)，
构造函数h(t)=(t+1)lntt-1-2，h′（t）=t2-1-2tlntt(t-1)2，再令k（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，t∈（0，1），
k′（t）＝2（t﹣1﹣lnt），再令g（t）＝t﹣1﹣lnt，g′（t）＝1-1t=t-1t＜0，可得
g（t）＞g（1）＝0，进而k（t）单调递增，可得k（t）＜k（1）＝0，
∴h（t）单调递增，由洛必达法则，limt→1[(t+1)lntt-1-2]=limt→1[lnt+1t+1-2]=0，
∴h（t）＞0，lnx1x2＞0，则x1x2＞1．
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