专题10 数列 10.2等比数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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知识梳理.等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。
题型一. 等比数列的基本量
1．（2013•北京）若等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝ ；前n项和Sn＝ ．
2．（2010•辽宁）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比q＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2017•江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=74，S6=634，则a8＝ ．
题型二. 等比数列的性质
1．已知正项等比数列{an}中，a3=a4a2，若a1+a2+a3＝7，则a8＝（ ）
A．32B．48C．64D．128
2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（ ）
A．12B．13C．2D．3
3．（2014•广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝2e5，则lna1+lna2+…+lna20＝ ．
题型三.等比数列的前n项经典结论
1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40等于（ ）
A．80B．30C．26D．16
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3=12，则S9S3=（ ）
A．12B．23C．34D．13
3．在等比数列{an}中，已知n∈N+，且a1+a2+…+an＝2n﹣1，那么a12+a22+…+an2为（ ）
A．23(4n+1)B．23(4n-1)C．13(4n-1)D．13(4n+1)
题型四. 证明等比数列
1．已知数列{an}，Sn是其前n项和，并且Sn+1＝4an+2（n＝1，2，…），a1＝1．
（1）设数列bn＝an+1﹣2an（n＝1，2，…）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列cn=an2n（n＝1，2，…）求证：数列{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和．
2．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn(n=1，2，3，⋯)．
（1）试写出a2，S2，a3；
（2）设bn=Snn，求证：数列{bn}是等比数列；
（3）求出数列{an}的前n项和为Sn及数列{an}的通项公式．
题型五. 等差、等比综合
1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．﹣24B．﹣3C．3D．8
2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且S5•S6＝﹣15，则d的取值范围是 ，若a1＝﹣7，则d的值为 ．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝﹣55，则nSn的最小值为 ．
4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a3﹣a2＝5，则a4+8a2的最小值为（ ）
A．40B．20C．10D．5
5．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn，满足S4﹣2S2＝3，则S6﹣S4的最小值为（ ）
A．14B．3C．4D．12
6．数列{an}满足a1=12，an+1=1-1an，那么a2018＝（ ）
A．﹣1B．12C．1D．2
7．已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n＞1时，Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+S1）恒成立，则S15等于（ ）
A．210B．211C．224D．225
8．已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1＝0，则S2019＝（ ）
A．2019B．12019C．4037D．14037
9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若∃n∈N*使得（Sn+32）k≥3n﹣6成立，则实数 k的取值范围是 ．
10．已知数列{an}满足a1=12，an+1=12an(n∈N*)．设bn=n-2λan，n∈N*，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是 ．
11．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且S6S3=6564，则数列{|lg2an|}前10项和为 ．
12．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N*），若bn=1lg2an⋅lg2an+1，则数列{bn}的前n项和Sn＝
课后作业. 等比数列
1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则Snan=（ ）
A．2n﹣1B．2﹣21﹣nC．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项的和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项的和为（ ）
A．158或5B．3116C．3116或5D．158
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S63S3=38，则2a6a5+a4= ．
4．已知等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…an的最大值为（ ）
A．32B．64C．128D．256
5．若数列{an}满足an+1＝（2|sinnπ2|﹣1）an+2n，则a1+a2+…+a8＝（ ）
A．136B．120C．68D．40
6．已知数列{an}满足a1＝﹣2，an+1＝3an+6．
（1）证明：数列{an+3}是等比数列；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn．