初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程同步练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程同步练习题，共10页。试卷主要包含了数字问题等内容，欢迎下载使用。

类型五、数字问题
一．选择题。
1．某医院内科病房有护士人，每人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是天，则（ ）
A．B．C．D．
2．某数的一半比这个数的平方的3倍少，设某数为x，某数的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（ ）
A．95B．59C．26D．62
4．已知是完全平方式，则常数的值为（ ）
A．1或2B．或C．或D．不存在
5．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4，设个位数字为x，则方程为（ ）
A．B．x2+(x-4)2=10(x-4)+x+4
C．D．x2+(x+4)2=10(x+4)+x+46
6．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225D．(x+8)(x﹣8)=225
二．填空题。
1．三个连续整数两两相乘，再求和，其结果为242，则这三个整数分别为____．
2．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为，列出关于的方程：______.
3．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大18，则这个两位数为______．
4．大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小于各位,各位平方与寿符.那位学子算得快,周瑜岁数为____________．
5．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大，而这个两位数字等于其数字之和的倍，如果这个两位数的十位数字为，则方程可列为________．
6．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________．
7．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
8．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：. 根据这个规则，则方程＝9的解为______________．
三．解答题。
1．一个两位数，两个数字的和为5，把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，求原两位数．
2．五个连续整数－2，－1，0，1，2满足下面关系：
（－2）2+（－1）2+02=12+22，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否再找到五个连续整数，使它们也具有上面的性质？
3．如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是48
（1）请证明发现的规律；
（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否正确．
4．风驰汽车销售公司2月份销售某型号汽车，进价为30万元/辆，售价为32万元/辆,当月销售量为x辆（x≤30，且x为正整数）,销售公司有两种进货方案供选择：
方案一：若x≤5辆，进价不变，若x超过5辆，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆；
方案二：进价始终不变，当月每销售1辆汽车，生产厂另外返还给销售公司1万元/辆．
（1）按方案一进货：
①当x=8时，该型号汽车的进价为 万元/辆；
②写出进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月该型号汽车的销售量为多少辆时，选用方案一和方案二销售公司获利相同．（注：销售利润=销售价-进价+返利）．
5．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
21.3 实际问题与一元二次方程（数字问题）
同步练习答案解析
一．选择题。
1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】 D 4.【答案】B
5.【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C
一．填空题。
【答案】8，9，10或
2.【答案】
3.【答案】47 4.【答案】36岁
5．【答案】
6．【答案】 25或36
7．【答案】 11或﹣8
8.【答案】－3或；
三．解答题。
1.【答案】23或32．
【分析】设原两位数字的十位数字为x，则个位数字为（5-x），根据“把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设原两位数字的十位数字为x，则个位数字为（5-x），
根据题意得（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736，
整理得：x2-5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3，
∴5-x=3或2，
∴原两位数是23或32．
故答案为：23或32．
2.【答案】10，11，12，13，14．
【分析】根据题意五个连续整数中，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，可设中间一个数为x，则可用含x的代数式表示出前三个数和后两个数；
再根据前三个数的平方和等于后两个数的平方和可列一个关于x的一元二次方程；
接下来解出这个方程，求得x的值，再将x的值分别代入其中即可获解.
【详解】设这五个连续整数为x，x+1，x+2，x+3，x+4，
∴x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2，
移项得x2=（x+3）2－（x+2）2+（x+4）2－（x+1）2，
∴整理得x2－8x－20=0，
∴x1=－2，x2=10，
3．【答案】（1）见解析；（2）小明的说法不正确，理由见解析
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），利用相对的两对数分别相乘再相减，可证出规律成立；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），根据最小数与最大数的积是120，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可知不符合题意，进而可得出小明的说法不正确．
【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），
∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），
依题意，得：x（x-14）=120，
解得：x1=20，x2=-6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确
4.【答案】（1）①29.7,②；y=30（，x为正整数）（2）该月售出15辆汽车.
【分析】（1）①依题意易知当x＝8时，该型号汽车的进价是30－0.1×（8－5），再计算即可；②根据题意分别写出当0＜x≤5与5＜x≤30时进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式即可；（2）设当月该型号汽车的销售量为x辆时，选用选用方案一和方案二销售公司获利相同，根据其中的等量关系列出方程求解即可.
【详解】解：（1）①当 x =8时,该型号汽车的进价为: 30－0.1×（8－5）=29.7（万元/辆）,
故答案为29.7 .
②根据题意得，
（）
（）；
（2）设当月该型号汽车的销售量为x辆时，选用选用方案一和方案二销售公司获利相同，根据题意有，
解得：x1=0（舍去），x2=15．
答：该月售出15辆汽车时，选用选用方案一和方案二销售公司获利相同.
5.【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【分析】（1）由题意代入验证即可解答；
（2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【详解】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121；
（2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，
∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，
将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，
∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1，
∵m＋n＝﹣2，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵b2＝4ac，
∴（a＋c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．