数学八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试同步练习题

这是一份数学八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试同步练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是( ) A. 线段 B. 角
C. 等腰三角形D. 等边三角形
2．如图，已知点 P 在△ABC 的外部，在∠DAE 的内部，若点 P 到 BD，CE 的距离相 等，则下列关于点 P 的位置的说法中，正确的是( )
A. 在∠DBC 的平分线上 B. 在∠BCE 的平分线上 C. 在∠DAE 的平分线上
D. 在∠A 和∠DBC 的平分线的交点处
(第 2 题)
3．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是( ) A. 3，4，6B. 15，20，25
C. 5，12，15D. 10，16，25
4．若直角三角形的两条直角边的长分别为 9 cm 和 12 cm，则斜边上的中线长为( ) A. 4.5 cm B. 6 cmC. 7.5 cm D. 10 cm
5．如图，在△ABC 中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝88°，则∠B＝( )
A. 46° B. 44°
C. 23° D. 22°
(第 5 题)
6．如图，已知∠MON＝30°，点 A1，A2，A3，…在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，…在
射线 OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若 OA1＝1，则△A6B6A7
的边长为( )
A. 32 B. 16C. 8 D. 6
(第 6 题)
7．在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别 为 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝( )
(第 7 题)
A. a＋b B. b＋c C. a＋c D. a＋b＋c
8．如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是
A. ①②③B. ①②④
C. ②③④D. ①③④
(第 8 题)
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分)
9．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝ ．
10．若等腰三角形的两边长分别为 4 和 8，则周长为________．
11．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是__________，这个逆命题是_____命题．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若
∠DEC＝∠A，则△EDC 是__________三角形．
,(第 12 题)) ,(第 13 题))
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝30°，以直角顶点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 BC
于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E.若 DE＝a，则△ABC 的周长用含 a 的代数式表示为_____
(第 14 题)
14．如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为__________
三、解答题(共 44 分)
15．(8 分)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是 BC 延长线上一点，D 为 AC 边上一 点，AE＝BD，且 CE＝CD.求证：BC＝AC.
(第 15 题)
16．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在 CA 的延长线上，∠E＝∠AFE，请判 断 EF 与 BC 的位置关系，并说明理由．
(第 16 题)
17．(12 分)一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A，B 处距河岸的距离分别是 AC＝
500 m，BD＝700 m，且 C，D 两地间的距离也为 500 m，天黑前牧童从点 A 将马牵到河边 去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．
(2)问：他至少要走多少路？
(第 17 题)
18．(14 分)如图，D 为等腰直角三角形 ABC 内的一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为
AD 延长线上的一点，且 CE＝CA.
(第 18 题)
(1)求证：DE 平分∠BDC.
(2)若点 M 在线段 DE 上，且 DC＝DM.求证：EM＝BD.
答案：
一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)
1．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是(D) A. 线段 B. 角
C. 等腰三角形D. 等边三角形
2．如图，已知点 P 在△ABC 的外部，在∠DAE 的内部，若点 P 到 BD，CE 的距离相 等，则下列关于点 P 的位置的说法中，正确的是(C)
A. 在∠DBC 的平分线上 B. 在∠BCE 的平分线上 C. 在∠DAE 的平分线上
D. 在∠A 和∠DBC 的平分线的交点处
(第 2 题)
3．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是(B) A. 3，4，6B. 15，20，25
C. 5，12，15D. 10，16，25
4．若直角三角形的两条直角边的长分别为 9 cm 和 12 cm，则斜边上的中线长为(C) A. 4.5 cm B. 6 cmC. 7.5 cm D. 10 cm
5．如图，在△ABC 中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝88°，则∠B＝(C)
A. 46° B. 44°
C. 23° D. 22°
(第 5 题)
【解】∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝88°，
∴∠A＝∠ADC＝46°，
∴∠B＝∠DCB ＝∠ADC＝23°.
6．如图，已知∠MON＝30°，点 A1，A2，A3，…在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，…在
射线 OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若 OA1＝1，则△A6B6A7
的边长为(A)
A. 32 B. 16C. 8 D. 6
(第 6 题)
【解】∵△A1B1A2 是等边三角形，
∴A1A2＝A1B1，∠B1A1A2＝60°.
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝∠B1A1A2－∠MON＝30°，
∴A1B1＝OA1＝1，
∴A1A2＝1，∴OA2＝2.
同理，A2B2＝2，A3B3＝4，A4B4＝8，A5B5＝16，A6B6＝32，
∴△A6B6A7 的边长为 32.
7．在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别 为 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝(C)
(第 7 题) A. a＋b B. b＋c C. a＋c D. a＋b＋c
【解】∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE.
又∵∠ABC＝∠CDE＝90°，AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴AB＝CD.
同理可证得△PQM≌△MFN，∴PQ＝MF.
∵CD2＋DE2＝AB2＋DE2＝a，MF2＋FN2＝PQ2＋FN2＝c，
又∵S1＝AB2，S2＝DE2，S3＝PQ2，S4＝FN2，
∴S1＋S2＋S3＋S4＝AB2＋DE2＋PQ2＋FN2＝a＋c.
(D)
8．如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是
A. ①②③B. ①②④
C. ②③④D. ①③④
(第 8 题)
【解】①作∠ABC 的平分线与 AC 交于点 D，则△ABD 和△BCD 为等腰三角形．
②不能分成两个小的等腰三角形．
③作∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D，则△ABD 和△ACD 为等腰三角形．
④过点 A 作∠BAD＝36°交 BC 于点 D，则△ABD 和△ACD 为等腰三角形．
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分)
9．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝53°．
10．若等腰三角形的两边长分别为 4 和 8，则周长为20．
11．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是如果一个三角形两边上的高相
等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若
∠DEC＝∠A，则△EDC 是直角三角形．
【解】∵∠B＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.
又∵∠DEC＝∠A，∴∠DEC＋∠C＝90°，
∴△EDC 是直角三角形．
,(第 12 题)) ,(第 13 题))
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝30°，以直角顶点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 BC
于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E.若 DE＝a，则△ABC 的周长用含 a 的代数式表示为(6＋
2 3)a．
【解】∵∠BAC＝90°，DE⊥AC，∠C＝30°，
∴BC＝2AB，CD＝2DE＝2a，∠B＝60°.
∵AB＝AD，∴∠BDA＝∠B＝60°，
∴∠DAC＝∠BDA－∠C＝30°＝∠C.
∴AD＝CD＝2a.
∴AB＝AD＝2a.∴BC＝4a.
∴AC＝＝＝2 a.
∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝2a＋4a＋2a＝(6＋2)a.
(第 14 题)
14．如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为15.5．
【解】∵AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，
∴CA＝＝DC.
∴ AB·BC＝×1×1＝， AC·CD＝××＝1.
同理，S△ADE＝2，S△AEF＝4，S△AFG＝8.
∴图形总面积＝＋1＋2＋4＋8＝
三、解答题(共 44 分)
15．(8 分)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是 BC 延长线上一点，D 为 AC 边上一 点，AE＝BD，且 CE＝CD.求证：BC＝AC.
(第 15 题)
【解】∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝90°.
BD＝AE，
在 Rt△BCD 和 Rt△ACE 中，∵
CD＝CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE(HL)．∴BC＝AC.
16．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在 CA 的延长线上，∠E＝∠AFE，请判 断 EF 与 BC 的位置关系，并说明理由．
(第 16 题)
【解】EF⊥BC.理由如下：
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，延长 EF 交 BC 于点 G.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAD.
又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，
∴∠BAC＝2∠E.
∴∠CAD＝∠E.∴AD∥EF.
又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即 EF⊥BC.
17．(12 分)一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A，B 处距河岸的距离分别是 AC＝
500 m，BD＝700 m，且 C，D 两地间的距离也为 500 m，天黑前牧童从点 A 将马牵到河边 去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．
(2)问：他至少要走多少路？
(第 17 题)
【解】(1)如解图①，作点 A 关于河岸的对称点 A′，连结 BA′交河岸于点 P，此时
PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′，所走的路程最短，
故牧童应将马赶到河边的点 P 处．
(第 17 题解) (2)如解图②，过点 A′作 A′B′⊥BD 交 BD 的延长线于点 B′.
易知四边形 A′B′DC 是长方形，
∴B′A′＝CD＝500，B′D＝A′C＝AC＝500.
在 Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝1200，A′B′＝500，
∴BA′＝ 12002＋5002＝1300(m)． 答：他至少要走 1300 m.
18．(14 分)如图，D 为等腰直角三角形 ABC 内的一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为
AD 延长线上的一点，且 CE＝CA.
(第 18 题)
(1)求证：DE 平分∠BDC.
(2)若点 M 在线段 DE 上，且 DC＝DM.求证：EM＝BD.
【解】(1)在等腰直角三角形 ABC 中，
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，
∴AD＝BD.
又∵AC＝BC，DC＝DC，
∴△ADC≌△BDC(SSS)．
∴∠DCA＝∠DCB＝45°.
∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，
∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，
∴∠BDE＝∠EDC，
∴DE 平分∠BDC. (2)连结 MC.
∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，
∴△MDC 是等边三角形，
∴CM＝CD，∠DMC＝∠MDC＝60°，
∴∠EMC＝∠ADC＝120°.
又∵CE＝CA，∴∠CEM＝∠CAD.
∴△EMC≌△ADC(AAS)．
∴EM＝AD.∴EM＝BD.