初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数同步练习题，共38页。
2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》同步能力训练
1．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（　　）

A． B．y＝x（12﹣x） C． D．y＝x（24﹣x）
2．在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，y与x之间的关系式为（　　）

A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x C．y＝﹣x2+3x﹣2 D．y＝x2﹣3x+2
3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
4．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（　　）

A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
5．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）

A．米 B．8米 C．10米 D．2米
6．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（　　）
A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）

A．18° B．36° C．41° D．58°
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（　　）

A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
10．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
温度t/℃
…
﹣5
﹣3
2
…
植物高度增长量h/mm
…
34
46
41
…
科学家推测出h（mm）与t之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为（　　）
A．﹣2℃ B．﹣1℃ C．0℃ D．1℃
11．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；其中正确的说法是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
12．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：
①AE＝6cm；②当0＜t≤10时，y＝t2；
③直线NH的解析式为y＝﹣5t+110；④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒，
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．则抛物线的解析式为 　．

14．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝10cm．刚开始时，OA＝90cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距60cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加20cm，则小刚应把升降器AB向上平移　 　cm．

15．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 　 　m．

16．图1是小米家吊椅的图片，其截面图如图2所示，吊椅的外框架是一条抛物线，抛物线的最高点为点E，内框架内由一条圆弧MN和两个全等直角三角形组成，点A，B，C，D在同一条直线上．已知BM⊥MN，MN∥AB，点A和点D的距离为60cm，点E，点N到直线AB的距离分别为60cm，45cm．△MFN是等腰三角形，过点F作FH⊥MN交MN于点H，此时，＝，则弧MN所在的圆的半径为　 　．


17．某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝　 　cm．

18．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　 　．

19．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续　 　小时水位才能到拱桥顶．


20．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有　 　个．

21．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廊是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为80m，高度分别为300m和225m，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（AB的长）为　 　m．

22．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需　 　秒．


23．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为　 　米．

24．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB＝24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为　 　．

25．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了　 　米．

26．如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是　 　米，此时飞行时间为　 　秒．

27．如图1，E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．已知△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为抛物线的顶点）．
（1）当△ECF的面积最大时，∠FEC的大小为　 　．
（2）等边△ABC的边长为　 　．

28．如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形ABCD）高AD＝2米，直杆DE＝5米，斜拉杆EG，EH起稳固作用，点H处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线FHG可近似看成抛物线的一部分，G为抛物线的最高点且位于主席台边缘BC的正上方，若点E，H，C在同一直线上，且DF＝1米，EG＝4米，∠AEG＝60°，则射灯H离地面的高度为 　 　米．

29．如图1，AO，BC是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线y＝﹣x+4的图象．因实际需要，在OA与BC间用一根高为2.5m的立柱MN将绳子撑起，若立柱MN到OA的水平距离为3m，MN左侧抛物线的最低点D与MN的水平距离为1m，则点D到地面的距离为　 　．

30．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 　 　．

31．在体育课训练期间，小亮练习实心球项目时，发现实心球的飞行路线是一条抛物线（不计空气阻力），实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，其中抛物线的最高点坐标为（4，3），请根据图象解答下列问题：
（1）小亮在训练过程中实心球飞行的最远距离为　 　m；
（2）求出实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间函数解析式；
（3）求出当y＝2.25时，相对应x的值，并说明它们的实际意义．

32．某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶5m时，水面AB宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为m．以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，A，B为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶1.8m时，木船能否通过这座拱桥？



33．如图，马大爷在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离地面1.2米的墙体A处，另一端固定在离墙体6米的地面上B点处，现以地面和墙体为x轴和y轴建立坐标系，已知大棚的高度y（米）与地面水平距离x（米）之间的关系式用y＝x2+bx+c表示．结合信息请回答：
（1）直接写出b，c的值．
（2）求大棚的最高点到地面的距离．
（3）马大爷现库存7米钢材，准备在抛物线上点C（不与A，B重合）处，安装一直角形钢架ECD对大棚进行加固（点D，E分别在x轴、y轴上，且CE∥x轴，CD∥y轴），就如何选取点C的问题，小明说：“点C取在抛物线的顶点处，库存钢材才够用”，小慧说“点C在抛物线上任意位置，库存钢材都够用”，请问谁的说法正确？说明理由．

34．篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？



35．某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100m（如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮5h后达到最高潮位，此最高潮位维持1h，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．
该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t变化的情况大致如表一所示：（在涨潮的5h内，该变化关系近似于一次函数）
表一
涨潮时间t（单位：h）
1
2
3
4
5
6
桥下水位上涨的高度（单位：m）




4
4
（1）求桥下水位上涨的高度（单位：m）关于涨潮时间t（0≤t≤6，单位h）的函数解析式；
（2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表二所示：
表二
涨潮时间t（单位：h）



桥下水面宽（单位：m）
20
20
20
现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m，宽20m，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．

36．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
37．如图①，小明和小亮分别站在平地上的C、D两地先后竖直向上抛小球A、B（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．A、B两球到地面的距离y1（m）和y2（m）与小球A离开小明手掌后运动的时间x（s）之间的函数图象分别是图②中的抛物线C1、C2．已知抛物线C1经过点P（0，2），顶点是Q（1，7），抛物线C2经过M（1，2）和N（2，5）两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为　 　时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？


38．在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”．
（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值．
（2）已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c．
①求a：b：c的值；
②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值．
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2．
①求y关于t的函数关系式；
②求y的最小值．


参考答案
1．解：∵AD的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴AB＝米，
∵菜园的面积＝AD×AB＝x•，
∴y＝．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为，
∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝BD＝1，
设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，P在OD上，
∵EF∥AC，
∴EF＝4﹣2x，
∴y＝EF•OP＝×（4﹣2x）（x﹣1）＝﹣x2+3x﹣2，
故选：C．

3．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．
故选：B．
4．解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+k，
将（0，1），（20，11）分别代入，得：，解得：，
∴y＝﹣（x﹣20）2+11
＝﹣x2+x+1，
故A错误；
∵坡度为1：10，
∴直线OA的解析式为y＝0.1x，
当x＝40时，y＝0.1×40＝4，
令y＝4，得﹣x2+x+1＝4，
∴x2﹣40x+120＝0，
解得x＝20±2≠40，
∴B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则h＝﹣x2+x+1﹣0.1x＝﹣x2+x+1，
∴对称轴为x＝﹣＝18，
∴hmax＝9.1，故C正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中x＝30时抛物线上的点的纵坐标值等于x＝37时的函数值，
当x＝37时，y＝﹣×372+37+1＝3.775，
在图2中，当x＝30时，点B的纵坐标为：0.1×30+2.3＝5.3，
则点A的纵坐标为5.3﹣2.3＝3＜3.775，故D错误．
故选：C．
5．解：当y＝0时，即y＝﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
6．解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，
当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，
故选：C．
7．解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，

∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
8．解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝﹣，
∴h＝﹣（t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝﹣（t﹣3）2+40，
解得t＝3±，故③错误；
④令t＝2，则h＝﹣（2﹣3）2+40＝m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
9．解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，

∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+，
∴y＝x2+，
故选：A．
10．解：设h＝at2+bt+c（a≠0），
将（﹣5，34），（﹣3，46），（2，41）代入方程组：
得：，
解得：，
所以h与t之间的二次函数解析式为：h＝﹣t2﹣2t+49＝﹣（t+1）2+50，
当t＝﹣1时，y有最大值50，
即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．
故选：B．
11．解：如图1中，作AD⊥BC于D．

由题意AB＝4×2＝8cm，
在Rt△ABC中，BC＝10cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝6cm，故①正确，
∵•BC•AD＝•AB•AC，
∴AD＝（cm），
由题意当点P运动到A时，S△BPQ＝（cm2），
∴×BQ×＝，
∴BQ＝4（cm），
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD＝＝（cm），
∴QD＝BD﹣BQ＝﹣4＝（cm），
∴PQ＝＝＝（cm），
∴PQ的最大值为，故③错误．
如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC•sinC＝（14﹣2t），

∴y＝•BQ•PH＝•t•（14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．故②正确，
如图2中点P只有在线段AC上，
t＝s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选：A．
12．解：①观察图2可知：
当t＝10时，点P、E重合，点Q、C重合；
当t＝14时，点P、D重合．
∴BE＝BC＝10，DE＝14﹣10＝4，
∴AE＝AD﹣DE＝BC﹣DE＝6，
∴①正确；
②设抛物线OM的函数解析式为y＝ax2，
将点（10，40）代入y＝ax2中，
得：40＝100a，解得：a＝，
∴当0＜t≤10时，y＝t2，②成立；
③在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，BE＝10，AE＝6，
∴AB＝＝8，
∴点H的坐标为（14+8，0），即（22，0），
设直线NH的解析式为y＝kt+b，
∴，解得：，
∴直线NH的解析式为y＝﹣5t+110，③成立；
④当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，
△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，
∴当t＝秒时，△ABE与△QBP不相似，④不正确．
综上可知：正确的结论有3个．
故选：C．
13．解：∵水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．
∴B（6，6），A（0，12），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
∴y＝a（12﹣6）2+6，
∴0＝a•62+6，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6；
故答案为：y＝﹣（x﹣6）2+6．
14．解：过C点作CE⊥AB延长线于点E，

∵∠ABC＝135°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴BE＝CE＝BC＝10，
∴AE＝AB+BE＝20（cm），
以O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，
则A（0，90），C（20，100），D（60，0），D′（80，0），
设此时抛物线解析式为：
y＝ax2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线为：y＝﹣x2+x+90，
设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，
则抛物线变为：y＝y＝﹣x2+x+90+k，
此时抛物线经过D′（80，0），
将D′（80，0）代入y＝﹣x2+x+90+k，
得：﹣×802+×80+90+k＝0，
解得：k＝110，
∴小刚应把升降器向上平移110cm．
故答案为：110．
15．解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
16．解：延长HF，则必过点E，过E作垂线EO⊥MN，
以BC中点为原点，过A、B、C的直线为x轴，
OE所在的直线为y轴建立直角坐标系，

则A（﹣30，0），D（30，0），
设抛物线y＝a（x+30）（x﹣30），
将E（0，60）代入得：60＝a（x+30）（x﹣30），
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+30）（x﹣30）＝﹣x2+60，
∴N点纵坐标为45，
令y＝45得：﹣x2+60＝45，
解得：x＝15或x＝﹣15（舍去），
在△EHN中，HN＝15，，
∴FH＝15×＝9，
设弧MN所在圆半径为rcm，
则由图可知：r2＝152+（r﹣9）2，
解得：r＝17，
故答案为17cm．
17．解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，

设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，
∴AB＝274，
∵GH是AB正中间，
∴AH＝AB＝137，
∴AM＝AH﹣MH＝137﹣72＝65，
设抛物线为：y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），
过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD′＝∠APQ＝90°，
∵旋转45°，
∴CD′＝CD＝5，
CQ＝D′Q＝CD′cos∠D′CD＝5，
∴D′P＝D′Q+PQ＝5+12＝17，
∴D′（5，17）代入抛物线得：
a×（5﹣65）2+21＝17，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣65）2+21，
令y＝0，则﹣（x﹣65）2+21＝0，
解得：x1＝65+30，x2＝65﹣30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB＝AB﹣AE＝274﹣（65+30）＝（209﹣30）（cm），
故答案为：（209﹣30）．
18．解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，
∵h1＝2h2，
∴v1＝v2，
∴t1：t2＝v1：v2＝：1，
故答案为：：1．
19．解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
20．解：①当∠POQ＝∠OAH＝60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH＝30°，设A坐标为（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH＝tan30°＝＝，
设直线OA的方程为y＝kx，把A的坐标代入得k＝＝，
所以直线OA：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故A（，）；
②当∠POQ＝∠AOH＝30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故P（，3），那么A（3，）；
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
故P（，3），
∴OP＝2，QP＝2，
∴OH＝OP＝2，AH＝QP＝2，
故A（2，2）；
④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
∴P（，），
∴QP＝，OP＝，
∴OH＝QPQP＝，AH＝OP＝，
故A（，）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，）或（3，）或（2，2）或（，）．
故答案为：4．
21．解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：

∴C（﹣40，0），D（40，0），
设外侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），将（0，300）代入，得：
300＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣，
∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+300，
将y＝225代入得：﹣x2+300＝225，
解得：x＝±20，
∴A（﹣20，225），B（20，225），
∴AB＝40，
∴在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（AB的长）为40m．
故答案为：40．
22．解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，
∴MN的对称轴为直线x＝＝23，
∴他通过整个桥面OA共需23×2＝46（秒）．
故答案为：46．
23．解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，
∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+3x+1，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，
∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案为：3.4．
24．解：如图，建立平面直角坐标系，DE在x轴上，y轴经过最高点C，

设AB与y轴交于点H，
∵DE＝36m，
∴D（﹣18，0），E（18，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣18）（x+18），
∵AB＝24m，
∴AH＝BH＝12m，
设OH＝k，则A（﹣12，k），
∵拱桥最高点C到AB的距离为8m，
∴C（0，k+8），
将点A和点C的坐标代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴点E到直线AB的距离为10m．
故答案为：10m．
25．解：如图，过点D作DF⊥x轴，交移动前水柱于点E，交x轴与点F，

∵AM⊥x轴，
∴AM∥DF，
∴CM＝4，CF＝CM+MF＝4+3＝7，
设当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，
当x＝0时，y＝9a+h，
∴点A的坐标为（0，9a+h），
∴AM＝9a+h
当x＝3时，y＝h，
∴点E（3，h），
∴EF＝h，DF＝h+1.5，
∴21a+h＝2 ①，
又最远落点到中心M的距离为9米，
∴x＝9时，y＝0，
即36a+h＝0 ②，
联立①和②，可得：a＝，h＝，
∴当x＞0时，抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+，
将抛物线向上平移1.5m，
∴当x＞0时，新的抛物线解析式y'＝（x﹣3）2+6.3，
此时当y＝0时，x＝3+（已舍弃负值），
则水柱水柱最远落点到中心M的距离增加了（﹣6）米，
故答案为：（﹣6）．
26．解：由h＝﹣（t﹣6）2+5可得，当t＝6时，h最大＝5．
∴沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是5米，此时飞行 时间为6秒．
故答案为：5；6．
27．解：过F作FD⊥BC于D，如图：

∵等边△ABC，等边△AEF，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EAF＝∠AEF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF＝60°，
而BE＝x，
∴CF＝x，∠FCD＝180°∠ACB﹣∠ACF＝60°，
∴FD＝x，
设等边△ABC边长是a，则CE＝BC﹣BE＝a﹣x，
∴S△ECF＝CE•FD＝（a﹣x）•x＝﹣x2+ax，
当x＝＝a时，S△ECF有最大值为＝a2，
（1）△ECF的面积最大时，BE＝a，即E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝30°，
故答案为：30°；
（2）当x＝a时，S△ECF有最大值为a2，
由图可知S△ECF的最大值是2，
∴a2＝2，解得a＝4或a＝﹣4（边长a＞0，舍去），
∴等边△ABC的边长为a＝4，
故答案为：4．
28．解：如图所示，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点G作GQ⊥AD于点G，

∵AD＝2米，DE＝5米，DF＝1米，
∴D（0，2），E（0，7），F（0，3），
又∵GQ⊥AD，EG＝4米，∠AEG＝60°，
∴GQ＝2（米），
∴EQ＝＝＝2（米），
∴AQ＝AE﹣EQ＝7﹣2＝5（米），
∴G（2，5），B（2，0），C（2，2），
∵点G为抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为y＝a+5（a≠0），将点F（0，3）代入，得：
3＝a+5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣+5，
设直线EC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将E（0，7），C（2，2）代入，得：
，
解得，
∴直线EC的解析式为y＝﹣x+7，
联立，
解得，或（舍去），
∴H（，4.5），
∴射灯H离地面的高度为4.5米．
故答案为：4.5．
29．解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x+4，
∴点A的坐标为（0，4），
∵立柱MN到OA的水平距离为3m，MN左侧抛物线的最低点D与MN的水平距离为1m，
∴点N左侧的抛物线的顶点的横坐标为2，点N的坐标为（3，），
设点N左侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，把（0，4），（3，）分别代入解析式，得：
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+2，
∴点D到地面的距离为2m．
故答案为：2m．
30．解：∵当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设此抛物线的解析式为y＝ax2+3.5，
由图象可知，篮圈中心与y轴的距离为：4﹣2.5＝1.5（m），且篮圈中心距离地面高度为3.05m，
∴篮圈中心的坐标为（1.5，3.05），代入y＝ax2+3.5，得：
3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣0.2，
∴y＝﹣0.2x2+3.5．
故答案为：y＝﹣0.2x2+3.5．
31．解：（1）由图象可知，
实心球飞行的最远距离为10m，
故答案为：10；
（2）设实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间函数解析式为y＝a（x﹣h）2+b（a≠0），
把顶点坐标（4，3）代入得：
y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得：
0＝a（10﹣4）2+3，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+3＝﹣x2+x+；
（3）当y＝2.25时，
2.25＝﹣x2+x+，
解得x1＝1，x2＝7，
实际意义：
当水平距离为1m或7m时，实心球飞行高度为2.25m．
32．解：当水面距拱顶5m时，水面宽8m，
∴点B的坐标是（4，﹣5），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
将点B（4，﹣5）代入y＝ax2，
得：﹣5＝a×42，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为．
将x＝2代入，
得，
∵，
而1.8＜2，
∴当水面离拱顶1.8m时，木船不能通过这座拱桥．
33．解：（1）由题意得A（0，1.2），B（6，0），
将A，B代入y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
∴b＝1，c＝1.2；
（2）由（1）知，y＝x2+x+1.2＝﹣（x2﹣5x）+1.2＝﹣+2.45，
∴大棚的最高点到地面的距离为2.45米；
（3）由（2）可知y＝﹣+2.45的顶点为（2.5，2.45），
①按小明说法：钢材长度为CE+CD＝2.5+2.45＝4.95＜7，
②按小慧说法：设C点坐标为（x，x2+x+1.2），
∴CE+CD＝xx2+x+1.2＝﹣+2x+1.2＝﹣（x﹣5）2+6.2，
∵x＝5时，（0＜x＜6），B（0，6）'
（CE+CD）最大＝6.2＜7，
∴钢材够用，
∴小慧说法正确．
综上，因为在任一点钢材都够用，所以小慧说法都正确．
34．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+h，
将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，（0≤x≤3.5），
当x＝2.5时，y最大，最大值为3.5m，
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5m；
（2）不能，
∵篮筐离地面3.05m，
∴3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴抛物线向右平移0.2m，即运动员应向前移动0.2m，
35．解：（1）当0≤t≤5，由题意可设桥下水位上涨的高度h关于涨潮时间t的函数解析式为h＝mt+n，
当t＝1时，h＝；当t＝2时，h＝，
可得：，
解得：，
∴当0≤t≤5时，h＝（m），当5＜t≤6时，h＝4（m）；
（2）以抛物线的对称轴为y轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线的交线为x轴建立直角坐标系，

设抛物线解析式为：y＝ax²+k（a＜0），
由（1）可得：当t＝0时，h＝0，此时桥下水面宽100m，
当t＝时，h＝1，此时桥下水面宽为20 m，
∴抛物线过点（50，0），（10，1），
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x²+25（﹣50≤x≤50），
当x＝10时，y＝24，
在最高潮时，4+15＝19＜24，
答：该货轮在涨潮期间能安全从该桥下驶过．
36．解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+7b+4＞3+，
解得：b＞．
37．解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝a（x+m）2+k．
∵顶点Q的坐标是（1，7），
∴y1＝a（x﹣1）2+7，
因为点P（0，2）在抛物线C1上，
所以点P（0，2）的坐标满足y1＝a（x﹣1）2+7，即2＝a（0﹣1）2+7．
解得a＝﹣5，
∴y1＝﹣5（x﹣1）2+7，
∵两抛物线的开口大小相同，
∴设y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣5x2+bx+c，
因为点M（1，2）和N（2，5）都在抛物线C2上，
所以点M（1，2）和N（2，5）的坐标满足y2＝﹣5x2+bx+c，
即，解得，
∴y2＝﹣5x2+18x﹣11；
（2）①令y1＝y2，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝，
故答案为：；
②令y1＝0，则0＝﹣5（x﹣1）2+7．
解方程得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意，舍去），
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．
当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，
∵﹣8＜0，
∴y1﹣y2随x的增大而减小．
∴当x＝1时，y1﹣y2有最大值，最大值是5，
当≤x≤1+时，两球到地面的距离之差y2﹣y1＝8x﹣13，
∵8＞0，
∴y2﹣y1随x的增大而增大．
∴当x＝1+时，y2﹣y1有最大值，最大值是﹣5，
∵﹣5＜5．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是5m．
38．解：（1）∵“调和三角形”某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，
∴①当4+6＝2（m﹣1）时，
解得m＝6，
②当m﹣1+4＝2×6时，
解得m＝9，
③当6+m﹣1＝2×4时，
解得m＝3（不合题意舍去），
综上，m的值为6或9；
（2）①∵Rt△ABC是“调和三角形”，且a＜b＜c，
∴a2+b2＝c2，①
a+c＝2b，②
由②，得b＝，代入①，
得a2+（）2＝c2，
整理得（5a﹣3c）（a+c）＝0，
∵a，b，c为三角形三边，
∴0＜a＜b＜c，
∴5a﹣3c＝0，
故a：c＝3：5，
同理可得，a：b＝3：4，
∴a：b：c＝3：4：5；
②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，
即a+b+c＝，
∵a：b：c＝3：4：5，
∴b＝a，c＝a，
∴a+b+c＝，
即a+a+a＝a×a，
解得a＝6或a＝0（舍去），
∴a＝6，b＝8，c＝10；
（3）①（Ⅰ）当P点在AB上时，即0≤t≤5时，
过P作PD⊥AC于D，
则有AP＝2t，CQ＝t，
∵∠A＝∠A，∠PDA＝∠BCA＝90°，
∴PD＝t，AD＝t，
∴DQ＝8﹣t﹣t＝8﹣t，
∵PQ2＝PD2+DQ2，
∴PQ2＝（t）2+（8﹣t）2＝t2﹣t+64；
（Ⅱ）当P在BC上时，即5＜t≤8时，
此时，PC＝6+10﹣2t＝16﹣2t，
CQ＝t，
∴PQ2＝PD2+DQ2＝（16﹣2t）2+t2＝5t2﹣64t+256，
综上，y关于t的函数关系式：；
②由y关于t的函数关系式可知当P在AB上时有最小值，
∵y＝t2﹣t+64＝（t﹣）2+，
∴当t＝，y有最小值为．