人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题同步达标检测题

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专题13.3-13.4 等腰三角形与最短路径问题
典例体系（本专题共74页82题）

一、知识点
1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；
2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）
等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）
3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）
等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬
②等边三角形的每条边都存在三线合一；
4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）
5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；
6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
7、最短路径的选择
①当两点在某一条 直线的两侧时,这两点的最短距离就是连接这两点的线段与直线的交点就是最短路径的点.
②当两点在某条直线的同 侧时,这两点到直线上某一 点的最短距离的作法:
作任意一个点关于这条直线的对称点,然后再连接 对称点与另一点之间的线段,与直线的交点就是最短距离的点的位置.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
注意：在解决最短路径的问题时,我们通常利用平移、轴对称等变化把已知问题转化成容易解决的问 题,从而作出最短路径的选择.
二、考点点拨与训练
考点1：等腰三角形的性质
典例：（2020·河北河间初二期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠B有怎样的数量关系？
小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．进而得到△ABD≌△AED，便可得到∠ACB与∠B的数量关系．请结合小明的思路，写出两个角的数量关系，并证明结论．

【答案】∠ACB＝2∠ABC，证明见详解
【解析】∠ACB＝2∠ABC
证明：延长AC到E，使CE=CD，连接DE
∴∠E＝∠CDE
∵AB=AC+CD ∴AE＝AB
又∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD＝∠CAD
又AD=AD
∴△ABD≌△AED
∴∠B＝∠E
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE
∴∠ACB＝2∠ABC
方法或规律点拨
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东芝罘初一期中）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是 （ ）

A．50° B．36° C．40° D．45°
【答案】A
【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠C=∠A+15°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故选：A．
2．（2020·四川成华初一期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【解析】如图，连接 BB′
∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，
∴∠BAC=∠B′AC′=40°，
∵∠CAF=10°，
∴∠C′AF=10°，
∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∴∠ABB′=∠AB′B=40°，
故选C．

3．（2020·陕西西安高新一中初一期末）如图，中，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是的角平分线，
∴，故A正确；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴AD=OA+OD=OC+OD，故B正确；
∵是的角平分线，
∴CD=BD，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴OA=OB，故C正确；
∵是的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OC=OB，
∴∠ACO=∠CAD=∠BAD=∠ABO，
∵BF与OF不一定相等，
∴∠BOF与∠ABO不一定相等，
∴∠ACO与∠BOF不一定相等，故D错误
故选：D.
4．（2020·四川龙泉驿初一期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( )

A．30° B．40° C．45° D．36°
【答案】D
【解析】
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝2∠A.
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2∠A．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，
即∠A＝36°．
故选D.
5．（2020·山东槐荫初一期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）

A．（）n•75° B．（）n﹣1•65°
C．（）n﹣1•75° D．（）n•85°
【答案】C
【解析】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．
故选：C．
6．（2020·河南罗山初二期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】B
【解析】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
7．（2020·山东中区济南外国语学校初二期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=25°．
故选D.
8．（2020·浙江南浔初三其他）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）

A．63° B．65° C．75° D．84°
【答案】D
【解析】∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=108°，
∴∠CDE=108°﹣∠ODC=84°．
故选：D．
9．（2020·山东历下初一期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝ （ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解析】解：∵∠AOB＝10°，OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，
∴∠ODC=10°，
∴∠BCD=∠AOB+∠ODC=20°，
∵CD=DE，
∴∠DEC=∠BCD=20°，
∴∠ADE=∠CED+∠AOB=30°，
∵ED=EF，
∴∠EFD=30°，
∴∠BEF=∠EFD+∠AOB=40°，
∵FE=FG，
∴∠FGE=40°，
∴∠GFH=∠FGE+∠AOB=50°，
∵GF=GH，
∴∠GHF=50°，
∴∠BGH=∠GHF+∠AOB=60°，
故选B．
10．（2019·河南宜阳初二期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C=______．

【答案】35°
【解析】∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°.
11．（2020·广东龙岗初一期末）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC=∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB=AD；
（2）若∠COD=70°，求∠APB的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠APB=125°
【解析】
（1）∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOD=∠COB，
又∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴CB=AD；
（2）∵∠COD=70°，
∴∠AOC=∠BOD==55°，
∴∠AOD=∠COD+∠BOD=125°=∠COB，
∵△AOD≌△COB，
∴∠DAO=∠BCO，
∴∠DAO+∠CBO=∠BCO+∠CBO，
∴180°-∠APB=180°-∠COB，
∴∠APB=∠COB=125°．
12．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延长BC至D，使BD＝BA，连接AD．点E在AC上，且CE＝CD，连接BE并延长BE交AD于点F．

（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：BF是AD的垂直平分线；
（3）连接DE，若AB＝10，求△DCE的周长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10
【解析】（1）证明：
∵∠ACB＝90°，CD是BC延长线，
∴∠ACD=∠ACB=90°．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）知△ACD≌△BCE则∠CAD=∠CBE，
又∵∠AEF=∠BEC，
∴在△AEF与△BEC中∠AFE=∠BCE＝90°，
∴BF⊥AD，
又∵BD＝BA，
∴BF是AD的垂直平分线．
（3）∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，
又∵BC=AC，AB=BD=10，
∴△DEC的周长=ED+EC+CD=AC+CD=BC+CD=AB=10．

考点2：等腰三角形的判定
典例：（2020·黑龙江牡丹江）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：

（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．
【答案】（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6．
【解析】（1）如图①，延长，交于点M．

∵，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长，EF交于点M．

由①同理可证，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长交EF于点M，

由上述证明过程易得，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
方法或规律点拨
本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
巩固练习
1．（2019·薛城区祁连山路中学初一期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于，若，则线段的长为（ ）

A．8 B．．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠BCO，
∴∠OBE=∠EOB，∠FCO=∠FOC，
∴BE=OE，FC=FO，
∴EF=EO+FO， 即EF=BE+CF．
∵
∴EF=，
故选D．
2．（2020·湖北黄州初二期末）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是____．

【答案】①②③
【解析】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DB＝DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正确．
②∵△BDF，△CEF都是等腰三角形，
∴DF＝DB，EF＝EC，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋EC，故正确．
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD＝DF，EF＝EC，
△ADE的周长＝AD＋DF＋EF＋AE＝AD＋BD＋AE＋EC＝AB＋AC；故正确，
④无法判断BD＝CE，故错误，
故答案为：①②③．
3．（2020·广东英德初二期中）如图所示，在四边形中，，，，平分交边于点，求的长．

【答案】1
【解析】解：，
．
平分，
．
，
．
．
4．（2020·广东高州初三月考）如图，已知等腰△ABC顶角∠A=36°．
（1）尺规作图：在AC上作一点D，使AD=BD；（保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）求证：△BCD是等腰三角形．

【答案】（1）见解析；（2）△BCD是等腰三角形
【解析】（1）如图1，作AB的垂直平分线，分别以点A、B为圆心，以大于为半径在AB上方画弧，在AB上方两圆弧交点为点M，分别以点A、B为圆心以大于为半径在AB下方画弧，在AB下方两圆弧交点为点N．过点M、N作直线MN，交AC于点D，点D即为所求．

（2）∵在等腰△ABC顶角∠A=36°
∴
∵AD=BD
∴∠ABD=∠A=36°
则∠DBC=36°
在△BCD中∠ACB=72°
∠DBC=36°
∠BDC=72°=∠ACB
∴△BCD是等腰三角形
5．（2020·广东佛山初二月考）如图，在和中，，，AC与BD相交于点O.

（1）求证：；
（2）是何种三角形？
【答案】（1）见解析；（2）△OBC是等腰三角形，理由见解析.
【解析】（1）∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形.
6．（2020·江苏海安初二月考）已知∠MAN=30°，点B在射线AM上，且 AB=6，点C在射线AN上．

（1）若△ABC是直角三角形，求AC的长；
（2）若△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有 个；
（3）设BC=x，当△ABC唯一确定时， 直接写出的取值范围．
【答案】（1）或；（2）3；（2）x =3或x≥6
【解析】（1）当∠ABC=90°时，如图所示，

∵∠A=30°
∴BC=
∴设BC=x，则AC=2x
在Rt△ABC中，由勾股定理得

解得x=
∴AC=
当∠ACB=90°时，如图所示，

∵∠A=30°
∴BC=
∴AC=
（2）当AB为腰时，等腰三角形有两个，如图，

当AB为底时，等腰三角形有1个，如图

∴△ABC是等腰三角形，则满足条件的C点有3个
（3）根据三角形三边关系可知，△ABC唯一确定时，由（1）、（2）得，BC=3或BC≥6.
故x=3或x≥6.
7．（2020·黑龙江南岗初三其他）已知:在中,,线段的垂直平分线交于点,点在上，且,连接
如图1 ,求证:

如图2,当时.在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形．

【答案】见解析；，，，
【解析】证明：令，
线段的垂直平分线交于点，
，
，
，，
，
，
，
；

如图2，
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD=BD，
∴是等腰三角形；
∵AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形；
由（1）知，
∴△ADE是等腰三角形；
∵， ，
∴
∵，
∴，
∴， ，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形是：，，，.

8．（2020·黑龙江哈尔滨初三二模）图1、图2分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：

（1）在图1中画一个，使得是面积为10的直角三角形，所画图形的各顶点必须在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画一个以线段为一边的钝角等腰三角形，并且面积等于10，所画等腰三角形的各顶点必须在小正方形的顶点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）图形如下(答案不唯一)：

（2）图形如下：

9．（2020·镇江实验学校初三一模）（1）如图1,△ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).
（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.

【答案】（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形.
【解析】（1）如图,直线CE即为所求；
（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,
分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.
图3不能分割成两个等腰三角形.

10．（2018·额尔古纳市三河中学初二期末）如图，在四边形中， ，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．

（1）求证：≌．
（2）连接，判断与的位置关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）EG⊥DF，
理由如下：连接EG，

∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE
∴DE＝FE，
即GE为DF上的中线，
又∵DG＝FG，
∴EG⊥DF．
考点3：与等腰三角形有关的分类讨论
典例：（2020·福建宁德初一期末）如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．

（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；
（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量 y 与 x 的关系式；
（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．
【答案】（1）56°；（2）y=；（3）36°或°.
【解析】解：（1）∵AB=AC，∠A=44°，
∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=34°，
∴∠BPD=90-34=56°；
（2）∵∠A=x°，
∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（）°，
由（1）可得：∠ABP=∠ABC=（）°，∠BDC=90°，
∴∠EPC=y°=∠BPD=90°-（）°=（）°，
即y 与 x 的关系式为y=；
（3）①若EP=EC，
则∠ECP=∠EPC=y，
而∠ABC=∠ACB=，∠ABC+∠BCD=90°，
则有：+（-y）=90°，又y=，
∴+-（）=90°，
解得：x=36°；
②若PC=PE，
则∠PCE=∠PEC=（180-y）÷2=，
由①得：∠ABC+∠BCD=90°，
∴+[-（）]=90，又y=，
解得：x=°；
③若CP=CE，
则∠EPC=∠PEC=y，∠PCE=180-2y，
由①得：∠ABC+∠BCD=90°，
∴+-（180-2y）=90，又y=，
解得：x=0，不符合，
综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A的度数为36°或°.
方法或规律点拨
本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.
巩固练习
1．（2020·河北河间初二期末）已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．
所以，三角形的周长为20．
故选：B．
2．（2020·鸡东县第三中学初一期中）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（ ）
A．4cm B．6.5cm或9cm C．6.5cm D．4cm或6.5cm
【答案】C
【解析】解：若腰长为4，则底边长为：17-4-4=9，
∵4+4=8＜9，
∴不能组成三角形，舍去；
若底边长为4，则腰长为：=6.5，
∵4+6.56.5，
∴能组成三角形，
∴该等腰三角形的腰长为：6.5．
故答案为C．
3．（2020·山东中区济南外国语学校初二期末）如果一个等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长为( )
A．17 B．22 C．17或22 D．无法计算
【答案】B
【解析】解：（1）若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4=22．
故选：B．
4．（2020·广东龙岗初一期末）如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（ ）
A．50°，80° B．65°，65°
C．50°，65° D．50°，80°或 65°，65°
【答案】D
【解析】解：当50°是底角时，顶角为180°-50°×2=80°，
当50°是顶角时，底角为（180°-50°）÷2=65°．
故这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是50°，80°或65°，65°．
故选：D．
5．（2020·山东招远初一期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】解：①当为锐角三角形时，如图1，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴三角形的顶角为30°；
②当为钝角三角形时，如图2，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠BAD=90°-60°=30°，
∵∠BAD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=150°
∴三角形的顶角为150°，
故选：D．
6．（2018·河南孟津初二期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（ ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7
【答案】C
【解析】当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；

使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个．
故选C．
7．（2019·河南偃师初二期末）在一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】有两种情况：
①当∠A为顶角时，如图1，此时AE=AF=5cm．

②当∠A为底角时，如图2，此时AE=EF=5cm．

故选B．
8．（2020·四川前锋初三其他）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，-2）（0，4）．

故选B．
9．（2020·贵州松桃初三其他）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除．故答案选A.

10．（2020·四川内江初一期末）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是______________；
【答案】29
【解析】解：当5为腰长时，
∵5+5<12，故不能组成三角形，
当12为腰长时，边长分别为：5，12，12，
∵5+12>12，故能组成三角形，
故周长为：5+12+12=29；
故答案为：29．
考点4：等边三角形的性质
典例：（2020·四川凉山中考真题）如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．

（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120°．
【解析】解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，
在△ABQ与△CAB中，

∴．
（2）角度不变，60°，理由如下：
∵
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，

∴
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．
方法或规律点拨
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·内蒙古林西初二期末）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD ； ②CN=CM； ③MN∥AB； ④∠CDB=∠NBE． 其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】∵△ACD和△BCE是等边三角形
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB
即∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=BD，故①正确；
∴∠EAC=∠NDC
∵∠ACD=∠BCE=60°
∴∠DCE=60°
∴∠ACD=∠MCN=60°
∵AC=DC
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴CM=CN，故②正确；
又∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC=∠ACD=60°
∴MN∥AB，故③正确；
在△DCN和△BNE，
∠DNC+∠DCN+∠CDB=180°
∠ENB+∠CEB+∠NBE=180°
∵∠DNC=∠ENB，∠DCN=∠CEB
∴∠CDB=∠NBE，故④正确．
故选：A．
2．（2020·山东槐荫初一期末）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是__________（填序号）

【答案】①②④⑤
【解析】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE与△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确；
在△DMP和△ACM中
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠DMP=∠AMC
∴∠DPA=∠DCA=60°，故②正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD
在△ACM和△DCN中

∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴AM=DN
又根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，
则∠AMC＞∠ACM，
∴AC＞AM
∴AC＞DN，故③错误；
由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN
又△ACE≌△DCB
∴AE=DB
∴EM=BN，故④正确；
∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤
3．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图，和都是等边三角形，∠EBD=78°，则∠AEB=_________度．

【答案】138
【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠EBD=78°，
∴∠CBD=∠ABE+（78°-60°）
∴∠ABE=∠CAE-18°，
∵∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE-18°=∠BAC-18°=42°，
∴∠AEB=180°-42°=138°；
故答案为：138．
4．（2020·河南嵩县初二期末）如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝_____．

【答案】120°
【解析】∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠A=60º，
∴∠ADE+∠AED=180º-60º=120º，
由折叠性质得：∠ADE=∠EDF,∠AED=∠DEF，
∴∠BDF+∠CEF=(180º-2∠ADE)+(180º-2∠AED)
=360º-2(∠ADE+∠AED)
=360º-240º
=120º，
故答案为：120º．
5．（2020·广东新丰初三其他）如图，点在射线上，点在射线上，，，△、△、△均为等边三角形，则的长为__．

【答案】
【解析】解：∵△A1B1B2是等边三角形，
∴∠A1B1B2＝60°，
∵∠A1OB1＝30°
∴∠OA1B1＝30°，
∴B1A1＝OB1＝1，
∵∠OA1B1＝30°，∠B1A1B2＝60°，
∴∠B2A1A2＝90°，
∵∠A2B2B3＝60°，
∴∠A1B2A2＝60°，
∴A1A2＝A1B2＝＝20，B2A2＝2A1B2＝2＝21，
同理A2A3＝21，A3B3＝2A2B3＝4＝22，A3A4＝22，A4B4＝2A3B4＝8＝23，
…
以此类推，AnAn＝2n−1，
∴A2019A2020的长为22018，
故答案为：22018．
6．（2020·宁夏银川市教育局初三其他）如图，是由9个等边三角形拼成的一个六边形，如果中间最小的等边三角形的边长是1，则右上角的最大的正三角形的边长是_____．

【答案】6
【解析】如图，设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，
所以其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，
由图形得，x+3=2x，
解得x=3，
则x+3=6，
故答案为：6．

7．（2020·福建安溪初三二模）如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接CE．求证：BD＝CE．

【答案】证明见详解
【解析】证明：连接CE，
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE．

8．（2020·山东章丘初一期末）(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
①请直接写出∠AEB的度数为_____；
②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；
(2)拓展探究：图2， △ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同－直线上， CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由见解析.
【解析】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
,
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
②AD=BE.
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC， CD = CE， ∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．
在等腰直角△DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM =DM= ME，∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
9．（2020·广东龙岗初二期末）如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BFD的度数．

【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
10．（2020·江西广丰初一期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．

（1）如图1重叠部分∠AOD=30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD=15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD=10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
【答案】（1）∠COB=90°；（2）∠COB=105°；（3）∠COB=130°；（4）①当∠AOD是两个角的重叠的角，∠COB=120°-∠AOD；②当∠AOD是两个角的相离时的角，且小于或等于60°，∠COB=120°+∠AOD；③当∠AOD是两个角的相离时的角，且大于60°，∠COB=240°-∠AOD．
【解析】解：（1）∵△COD和△AOB为两块正三角形
∴∠COD=∠AOB=60°
∴∠COB=∠COD+∠AOB －∠AOD=60°＋60°－30°=90°；
（2）同理∠COB=∠COD+∠AOB －∠AOD=60°＋60°－15°=105°
（3）∠COB=∠COD＋∠AOB +∠AOD =60°+60°+10°=130°；
（4）①当∠AOD是两个角的重叠的角，
那么∠COB=120°－∠AOD；
②当∠AOD是两个角的相离时的角，且小于或等于60°，
那么∠COB=120°+∠AOD；
③当∠AOD是两个角的相离时的角，且大于60°，
那么∠COB=360°-(120°+∠AOD)=240°－∠AOD．

11．（2020·陕西西安初一期末）（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．
方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；
问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）CM＝AN+MN，详见解析；（2）CM＝MN﹣AN，详见解析
【解析】解：（1）CM＝AN+MN，
理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OA＝OC，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∵∠MON＝60°，
∴∠COD+∠AOM＝60°，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOM＝60°，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO，
∴DM＝MN，
∴CM＝CD+DM＝AN+MN；
（2）补全图形如图2所示：

CM＝MN﹣AN，
理由如下：在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，
在△CDO和△ANO中，
，
∴△CDO≌△ANO（SAS）
∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，
∴∠DOM＝∠NOM，
在△DMO和△NMO中，
，
∴△DMO≌△NMO（SAS）
∴MN＝DM，
∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．
考点5：等边三角形的判定
典例：（2018·山西吕梁初二期末）问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．

类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．

【答案】（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形，
【解析】（1）如下图，数量关系：AD＝DE.

证明：∵是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC
∴，∠BDF＝∠BCA
∴
∴是等边三角形，
∴DF＝BD
∵点D是BC的中点
∴BD＝CD
∴DF＝CD
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵是等边三角形，点D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴
∵
∴
在与中

∴
∴AD＝DE；
（2）结论：AD＝DE.
证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F

∵是等边三角形
∴AB＝BC，
∵DF∥AC
∴
∴
∴是等边三角形，
∴BF＝BD
∴AF＝DC
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵∠ADC是的外角
∴
∵
∴∠FAD＝∠CDE
在与中

∴
∴AD＝DE；
（3）如下图，是等边三角形.

证明：∵
∴
∵CE平分
∴CE垂直平分AD
∴AE=DE
∵
∴是等边三角形.
方法或规律点拨
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东广饶初一期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD 是等边三角形．其中正确的是( )

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】①∵AB=AC，AC=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴AC⊥BD，故①正确；
②∵AC⊥BD，BE=DE，
∴点C在BD的线段垂直平分线上，
∴BC=DC，故②正确；
③∵AB=AC，AC=AD，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，故③正确；
④∵∠BAD不一定等于60°，
∴△ABD不一定是正三角形，故④错误．
所以正确结论有①②③，故选A．
2．（2019·山东肥城初二开学考试）如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）．

A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
【答案】A
【解析】∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形，
故选A.
3．（2019·湖南长沙初二期中）已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下列结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP；其中正确的序号是（　　）

A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③
【答案】A
【解析】解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；
∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°，
∴∠PAC＝∠DAC，
∴AC平分∠PAD，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中， ，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确．
故选：A．
4．（2019·北京师大附中初二期中）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【答案】D
【解析】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
5．（2019·东安县舜德学校初二期中）如图所示，是等边中边上的点，，， 则对的形状判断最准确的是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
【答案】B
【解析】解：判断△ADE是等边三角形
理由如下：∵△ABC是全等三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60º,
在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAC＝60º，
∴△ADE是等边三角形
故选：B
6．（2019·山东曹县）如图，为等边三角形，为延长线上一点，CE=BD，平分，下列结论:(1)；(2)；(3)是等边三角形，其中正确的个数为( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】是等边三角形，
，，
，
平分，
，
，
在和中

，
，故（2）正确；
∴
∴，故（1）正确；
∴是等边三角形，故（3）正确．
∴正确有结论有3个．
故选：D．
7．（2020·广西初三三模）如图，中，，，，，平分，与相交于点，则的长等于_____.

【答案】3
【解析】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，
∵∠BAD=∠ADE=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴AB==8，AG=AB=4，CG⊥AB，
∴GH=AH=AG=5-4=1，
∵∠DHA=60°，
∴∠GEH=30°，
∴EH=2GH=2
∴DE=DH-EH=5=2=3.

故答案为3
8．（2019·广西兴宾初二期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点(不与点B、C重合)，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）若点D在线段BC上，问点D运动到何处时，AC⊥DE？请说明理由；
（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．(直接写出结果，无需写出求解过程)
　　　　　　　　
【答案】（1）证明见解析；（2）当点D运动到BC中点(H点)时，AC⊥DE．理由见解析；（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．
【解析】证明：（1）如图1．
∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAD=∠CAE

在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）当点D运动到BC中点(H点)时，AC⊥DE
理由是：如图2．
∵AB=AC，AH⊥BC

∴∠BAH=∠CAH
∵∠BAH=∠CAE，
∴∠CAH=∠CAE
∵AH=AE，
∴AC⊥DE．
（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．
理由如下：
①如图3中，当点D在CB的延长线上时，

∵CE∥AB，
∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC．
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，
则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．
②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，

同理可得：∠ADB=180°-20°-60°=100°．
③当点D在BC延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，

综上所述：满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．
9．（2020·佛山市南海区桂城街道映月中学初二月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．

【答案】（1）115°；（2）证明见解析
【解析】（1）∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣70°=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠ABC=25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°．
（2）证明：∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∵BD=DC，AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
考点6：含30°锐角三角函数的直角三角形
典例：（2020·广西东兰初二期末） 如图，已知为等边三角形，AE=CD,,相交于点 F,于点Q．
（1）求证：≌；
（2）若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=9．
【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△AEB与△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
（2）由（1）可知≌，
∴,AD=BE
又
,
BF=2FQ=8，
∴BE=BF+EF=8+1=9
∴AD=9
方法或规律点拨
本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
巩固练习
1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在中，，，AD是的中线，AE是的角平分线，交AE的延长线于点F，则DF的长是

A．2 B．4 C．5 D．
【答案】C
【解析】∵AB=AC=10，∠BAC=120°，AD是中线，
∴∠ABD=∠ACD=（180°-120°）=30°，AD⊥BC，
∴AD=AB=5，
∵DF//AB，
∴∠DFA=∠BAF，
∵AF是∠BAD的角平分线，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=5.
故选C.
2．（2020·内蒙古杭锦后旗初二期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：∵PD∥OA，∠AOB=150°
∴∠PDO+∠AOB=180°
∴∠PDO=30°
过O作OF⊥PD于F
∵OD=4
∴OF=×OD=2
∵PE⊥OA
∴FO=PE=2.
故选A.

3．（2020·广西防城港初二期中）如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）

A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
【答案】B
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
而CA=5米，
∴AB=10米，
∴AB+AC=15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故选B．
4．（2020·山东岚山初二期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是__________．

【答案】3
【解析】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∴．
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∠ECD=∠ECD，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC底边BC的高，也是中线，
∴，
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时，，
，
∴DF=EG=3．
故答案为：3．

5．（2020·湖南渌口初三其他）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则在①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中AP长不可能是_____ （填序号）

【答案】④
【解析】根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，
∴AP的长不能大于6．
故答案为：④
6．（2020·广东南海初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________．

【答案】4
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，ADBE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC•BE=20，即5BE=20，
∴BE=4，即平移距离等于4．
故答案为：4．
7．（2020·贵州铜仁伟才学校初二期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______.

【答案】3
【解析】∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD=BD=6×=3．
故答案为3．
8．（2020·山西寿阳初二期中）如图，将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm，则阴影部分的面积是__．

【答案】72cm2
【解析】∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=24cm，
∴AC=AB=12cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=12cm．
故S△ACF=×12×12=72（cm2）．
故答案为：72cm2．
9．（2020·广东高州初二期中）如图，已知在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，.

（1）求证：；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】（1）证明: ∵DE⊥AB,DF⊥A，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵D是BC的中点，
∴.BD=CD，
在△BED和△CFD中,
,
∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF ；     
（2）解：∵AB=AC, ∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
.∴∠B=60°，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴，
∵BE=1，
∴BD=2，
∴BC=2BD=4.
​∴△ABC的周长为12.
10．（2020·甘肃省武威市第十中学初三三模）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，求OM的长．

【答案】OM＝5．
【解析】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，∠AOB=60º，OP＝12，∴OD＝OP=6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD－MD＝6－1＝5．

考点7：最短路径问题
典例：（2019·湖北十堰初二期中）如图，在平面直角坐标系中

（1）做出△ABC关于y轴对称的,并求出三个顶点的坐标；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．
【答案】（1）；（2）2.5；（3）见解析
【解析】解：（1）如图所示：
（2）如图，将补成矩形，则
，，，，，，，，





（3）如图所示

方法或规律点拨
本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2020·山东槐荫初一期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）表示小河，两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，
故选：C.
2．（2020·河南内黄初二期末）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
【答案】D
【解析】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，

∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3
过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1
则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，
∴∠B′C′O=∠EB′A
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选D．
3．（2019·河南汝州初二期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是， 腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段EF上一动点，则周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD
故选：C．
4．（2020·山东历下初一期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝__________．

【答案】30°
【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：30°．
5．（2020·山东历下初一期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．

【答案】105°
【解析】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为：105°.
6．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图，在Rt中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，将Rt折叠，使得点C恰好落在AB边的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___________．

【答案】42
【解析】解：连接CP，

由于折叠可得：点C和点E关于AD对称，
∴CP=EP，
在△PEB中，BE固定不变，
PE和PB随点P的位置变化，
∴当点P在点D的位置上时，
PC+PB最小，即PE+PB最小，
∵AC=7，BC＝24，AB＝25，
∴AE=7，BE=18，
∴PE+PB的最小值为CD+BD=BC=24，
∴△PEB的周长最小值为PE+PB+BE=24+18=42.
故答案为：42.
7．（2020·沈阳市第一二七中学初一期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为_____cm

【答案】5
【解析】
如图，过BD作P的对称点,连接P，Q，Q与BD交于一点E，再连接PE，此时PE＋QE最小.
∵与P关于BD对称，
∴PE=E，BP=B=2cm，
∴PE＋QE= Q，
又∵等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，
∴AC=BC=AB=7cm，
∵BP＝AQ＝2cm，
∴QC=5cm，
∵B=2cm，
∴C=5cm，
∴△Q C为等边三角形，
∴Q=5cm.
∴PE＋QE=5cm.
所以答案为5.
8．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值____．

【答案】15
【解析】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×6×AD=36，解得AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=12+×6=12+3=15．
故答案为：15．
9．（2020·重庆南岸初一期末）如图所示，在街道的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道旁设置一个快递中转站．

（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；
（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；
（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系．
【答案】（1）理由见解析；（2）∠PAC=∠PBD；（3）∠PAC=∠PBD．
【解析】（1）∵ AC，BD分别是点A，B到直线的距离，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中，，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）如图1所示，∠A＝∠B，

理由：由作图知，
AC＝，⊥l，
∴∠A＝∠A，
∵A∥BD，
∴∠＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）如图2所示，

∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
10．（2019·河南汝州初一期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A、B和直线．
（1）求作点A关于直线的对称点；
（2）为直线上的点，连接、，求周长的最小值．

【答案】（1）详见解析；（2）10
【解析】解：（1）如图所示

（2）连接、交直线于点，连接，，则．根据两点之间线段最短可知的最小值，即的周长的最小值．