人教版八年级上册13.2 画轴对称图形综合与测试复习练习题

这是一份人教版八年级上册13.2 画轴对称图形综合与测试复习练习题，文件包含专题131-132轴对称及画轴对称图讲练-2020-2022学年八年级上册同步讲练原卷版人教版docx、专题131-132轴对称及画轴对称图讲练-2020-2022学年八年级上册同步讲练解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。


一、知识点
1、轴对称
（1）.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；
两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
（2）.两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；
轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；
（3）.轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。
（4）.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（5）.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；对称的两个图形是全等的；
（6）.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
（7）.垂直平分线的尺规作图
2、作轴对称图形
（1）.作轴对称图形：分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；（注意取特殊点）
（2）.点（x , y）关于x轴对称的点的坐标为：（x , -y）;点（x , y）关于y轴对称的点的坐标为：（-x , y）;
二、考点点拨与训练
考点1：轴对称图形的识别
典例：（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
解：A选项能够关于一条直线对称，是轴对称图形，故A正确；
B选项不是轴对称图形，故B错误；
C选项不是轴对称图形，故C错误；
D选项不是轴对称图形，故D错误；
故选：A.
方法或规律点拨
本题考查了轴对称图形，理解其概念是判断轴对称图形的关键.
巩固练习
1．（2020·福建宁德初一期末）下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：第一个图形不是轴对称图形，
第二、三、四个图形是轴对称图形，
故选：A．
2．（2020·山东济南初一期末）汉字书法博大精深，下列汉字“行”的不同书写字体中，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（2020·河南郏县初一期末）以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
4．（2020·山东槐荫初一期末）如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
5．（2020·河南罗山初二期末）下列全国志愿者服务标识的设计图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，
C中的图形是轴对称图形，
故选：C．
6．（2020·全国初二课时练习）我们理应对我们所得的一切心怀感恩，这是我们强大的基础.少年强则国强，中国强则中国少年更强，中国强就是因为少年强.为了庆祝祖国生日小强做了以下几幅剪纸作品，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误.
故选B．
考点2：与线段垂直平分线相关的尺规作图
典例：（2020·广东禅城初一期末）已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．
（1）尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求∠ADC．
【答案】（1）见解析；（2）20°
【解析】（1）解：如图所示：D点为所求；
（2）证明：∵∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝60°．
又DB＝DC，∠B＝40°，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝20°．
方法或规律点拨
本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的画法是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东岚山初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝70°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】B
【解析】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠B=30°
由作图可知：MN垂直平分线段AB，
可得DA=DB，
则∠DAB=∠B=30°，
故∠DAC=80°-30°=50°，
故选：B．
2．（2019·河南伊川初二期末）如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65°B．60°
C．55°D．45°
【答案】A
【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A．
3．（2020·重庆南岸初二期末）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，如图所示：
4．（2020·山东中区济南外国语学校初一期末）如图，长方形ABCD中∠DAC＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于( )
A．34°B．44°C．56°D．68°
【答案】C
【解析】如图，由尺规作图的痕迹得：AE是的角平分线，直线是AC的垂直平分线，
，
，
，
由对顶角相等得：，
故选：C．
5．（2020·浙江婺城初三三模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，交于点，连接，若的周长为，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：在△ABC中，以点A和点B为圆心，大于二分之一AB的长为半径画弧，两弧相交与点M,N，则直线MN为AB的垂直平分线，则DA=DB,△ADC的周长由线段AC,AD,DC组成，△ABC的周长由线段AB,BC,CA组成而DA=DB,因此△ABC的周长为10+7=17.
故选C.
6．（2020·全国初二课时练习）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（ ）
A．7B．8C．12D．13
【答案】B
【解析】解：∵顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧
∴MN为AB的垂直平分线
∴AD=BD=5
∵BC=BD+CD
∴BC=AD+CD=5+3=8
故选B．
7．（2019·云南初三二模）如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．
【答案】50°
【解析】∵由作法可知直线是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故答案为：50°．
8．（2020·四川成华初一期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若，的周长为13cm，则的周长为________.
【答案】19cm
【解析】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
的周长为13，
，
则的周长，
故答案为：．
9．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，在的边上求作点，做得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】解：如图所示：
所以，D点为所求．
10．（2020·福建宁德初一期末）如图，已知△ABC，点 P 为 BC 上一点．
（1）尺规作图：作直线 EF，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC于 E，交直线 AB 于 F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 PE，AP，AP 交 EF 于点 O，若 AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明 PE=AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】解：（1）如图，直线EF即为所作图形；
（2）∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
由（1）可知：EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AE=PE，
在△AOF和△AOE中，
∠OAF=∠OAE，AO=AO，∠AOF=∠AOE=90°，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AF=AE，
∴AF=PE.
11．（2020·深圳市龙岗区智民实验学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，用圆规分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．
（1）根据作法判断直线DE为线段AC的 线；
（2）连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．
【答案】（1）垂直平分；（2）∠BAE=18°
【解析】（1）由作法得ED为线段AC的垂直平分线，
故答案为：垂直平分；
（2）∵ED为线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=36°，
∴∠BAE=90°-∠EAC-∠C =90°-36°-36°=18°．
故答案为：18°．
考点3：线段垂直平分线的性质
典例：（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．
【答案】（1）5；（2）4
【解析】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5，
∴AD+DE+EA＝5，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）∵△OBC的周长为13，
∴OB+OC+BC＝13，
∵BC＝5，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
方法或规律点拨
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为（ ）
A．7 cmB．10 cmC．12 cmD．22 cm
【答案】C
【解析】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC+AC=17cm，
∴AD+DC=BD+DC=BC=12cm．
故选：C．
2．（2020·山东章丘初一期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】C
【解析】∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝18．
又∵BC＝8，
∴AC＝10（cm）．
故选：C．
3．（2020·浙江温岭初三一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝_____．
【答案】1：3
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴S△ADE＝S△BDE，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△BDE≌△BCE（AAS），
∴S△BDE＝S△BCE，
∴S△AED：S△ABC＝1：3，
故答案为：1：3．
4．（2020·安徽砀山初二期末）如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.
【答案】3
【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是8cm，
∴BN+NC+BC=8（cm），
∴AN+NC+BC=8（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=8（cm），
又∵AC=5cm，
∴BC=8﹣5=3（cm）．
故答案为3．
5．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为 AB，AC 中点， 且 DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．
【答案】36
【解析】∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAE＋∠FAC＝72°，
∴∠DAF＝∠BAC−（∠DAE＋∠FAC）＝36°，
故答案为：36．
6．（2020·山东商河初二期末）如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.
【答案】（1）20°；（2）22.
【解析】解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°,
∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.
∴∠DAC=∠C=40°,
∴∠BAD=60°-40°=20°.
（2）∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，
∴△ABD的周长为22.
考点4：线段垂直平分线的判定
典例：（2020·山东文登初一期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【答案】（1）65°（2）证明见解析
【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
方法或规律点拨
本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在（ ）
A．△ABC三边的中线的交点上B．△ABC三内角平分线的交点上
C．△ABC三内高线的交点上D．△ABC三边垂直平分线的交点上
【答案】D
【解析】解：在三角形内，要找一点到三角形各顶点距离相等，只能是三边垂直平分线的交点上；
A．中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；
B．角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，不符合题意；
C．高的交点为垂心，而到各顶点相等的只能是垂直平分线的交点，不符合题意；
D．△ABC三边垂直平分线的交点上，符合题意．
故选D．
2．（2020·湖北宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
A．是线段的垂直平分线B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线D．是的垂直平分线
【答案】A
【解析】
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
3．（2020·河北迁西初三二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：
①AD是∠BAC的平分线；
②CD是△ADC的高；
③点D在AB的垂直平分线上；
④∠ADC=61°．
其中正确的有（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，
∴CD是△ADC的高，故②正确；
∵∠C=90°，∠B=32°，
∴∠CAB=58°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAB=29°，
∴AD≠BD，
∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误；
∵∠CAD=29°，∠C=90°，
∴∠CDA=61°，故④正确；
共有3个正确，
故选：C．
4．（2019·湖北十堰初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】∵
∴
∵BE平分
∴
∴
∴
∴，则①正确
∵
∴点E在线段BC的垂直平分线上，则②正确
∵
∴
∵
∴
∴，则③正确
∵
∴，则④错误
综上，正确的个数为3个
故选：B．
5．（2020·北京平谷初三一模）已知锐角∠AOB如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；
（3）连接FG，CG．作射线OG．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BOG＝∠AOBB．若CG＝OC，则∠AOB＝30°
C．OF垂直平分CGD．CG＝2FG
【答案】D
【解析】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，
∴△OCF≌△OGF（SSS），
∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；
若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，
∴∠COG＝60°，
∴∠AOB＝∠COG＝30°，故B选项正确；
∵OC＝OE，FC＝FG，
∴OF垂直平分CG，故C选项正确；
∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；
故选：D．
6．（2020·咸阳百灵学校初二月考）如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（ ）
A．l垂直ABB．l平分ABC．l垂直平分ABD．不能确定
【答案】D
【解析】因为只知道直线l经过点C，所以无法判定直线l与AB的关系．
故选：D．
7．（2020·山东郓城初二期末）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。
【答案】见解析
【解析】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
8．（2020·全国初二课时练习）如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.
【答案】见解析
【解析】在Rt△AED和Rt△AFD中，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
又∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF．
9．（2020·北京朝阳初二期末）如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．
（1）依题意补全图形．
（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；
②求证：点D到AF，EF的距离相等．
【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．
【解析】（1）补全图形，如图1所示
（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点
∵等边△ACD，AE⊥CD
∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短
故B,D之间直线最短，点P即为所求．
②证明：连接DE，DF．如图3所示
∵△ABC，△ADC是等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°
∵AE⊥CD
∴∠CAE＝∠CAD＝30°
∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°
∴∠CAE＝∠CEA
∴CA＝CE
∴CD垂直平分AE
∴DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA
∵EF⊥AF，∠EAF＝45°
∴∠FEA＝45°
∴∠FEA＝∠EAF
∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED
∴△FAD≌△FED（SAS）
∴∠AFD＝∠EFD
∴点D到AF，EF的距离相等．
考点5：图形折叠问题（轴对称图形性质）
典例1：（2020·湖北阳新初二期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？
【答案】20°．
【解析】如图，作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，则A'A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=100°，
∴∠AA'M+∠A″=180°﹣∠BAD=180°﹣100°=80°．
∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠AA'M+∠A″)=2×80°=160°，
∴∠MAN=180°﹣160°=20°．
故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是20°．
方法或规律点拨
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
典例2：（2020·四川龙泉驿�初一期末）如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数_____度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是_____度．
【答案】150 135
【解析】解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，
∴EH∥GF，
∴∠1＝∠EFG，
根据翻折不变性得∠1＝∠2＝15°，
∴∠2＝∠EFG，∠AEG＝180°﹣2×15°＝150°，
又∵∠DEF＝15°，
∴∠2＝∠EFG＝15°，∠FGD＝15°+15°＝30°．
在梯形FCDG中，∠GFC＝180°﹣30°＝150°，
根据翻折不变性，∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝150°﹣15°＝135°．
故答案为：150；135．
方法或规律点拨
此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数不变．
巩固练习
1．（2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△，与AB交于点E，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．20°C．35°D．55°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠1=35°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°－35°=55°，
根据折叠图形可得：∠DBC′=∠DBC=55°，
∴∠2=55°－35°=20°，
故选B．
2．（2020·山东高唐初二期中）如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△，与AB交于点E，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．20°C．35°D．55°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠1=35°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°－35°=55°，
根据折叠图形可得：∠DBC′=∠DBC=55°，
∴∠2=55°－35°=20°，
故选B．
3．（2020·湖南渌口初一期末）如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线交与点Q,点P是直线MN上任意一点,下列判断错误的是( )
A．AQ=BQB．AP=BPC．∠MAP=∠MBPD．∠ANM=∠NMB
【答案】D
【解析】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AP=BP，AQ=BQ，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
4．（2020·河南罗山初二期末）如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中 ( )
A．AH=DH≠ADB．AH=DH=ADC．AH=AD≠DHD．AH≠DH≠AD
【答案】B
【解析】解：由图形的对称性可知:AB=AH,CD=DH,
∵正方形ABCD,
∴AB=CD=AD,
∴AH=DH=AD．
故选B．
5．（2020·山东兖州初一期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( )
A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】D
【解析】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2020÷6=336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，
∴第2020次碰到矩形的边时的点为图中的点D；
故选：D．
6．（2020·江苏锡山初一期末）如图，矩形纸片ABCD沿着BE折叠，使C、D两点分别落在C1、D1处，若∠ABC1＝45°，则∠ABE的度数为（ ）
A．22.5°B．21.5°C．22°D．21°
【答案】A
【解析】设∠ABE=，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
即，
解得．
故选：A．
7．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF．图中∠EAF的度数为（ ）
A．113°B．124°C．129°D．134°
【答案】D
【解析】连接AD，

∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝62°，∠C＝51°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°−62°−51°＝67°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，
故选D．
8．（2020·陕西陈仓初一期末）如图，是一个三角形纸片，其中，，沿折叠纸片，使点落在点处，则_____．
【答案】
【解析】解：由折叠可知∠A=∠DBE=36°，
∴∠BEC=∠A+∠DBE=72°，
故答案为：72°．
9．（2020·四川龙泉驿初一期末）如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4cm，BC＝8cm，把纸片的部分折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为_____．
【答案】12cm．
【解析】解：由折叠的性质可知，AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝12（cm），
故答案为：12cm．
10．（2020·四川内江初一期末）四边形ABCD中，，，点M、N分别在AB、BC上，将沿MN翻折，得．若，，则_____°；
【答案】95
【解析】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．
故答案为：95．
11．（2020·山东郓城初一期末）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为________．
【答案】12 cm
【解析】∵将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，∴AD＝BD．
∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，∴AD+CD＝BC＝17﹣5＝12（cm）．
故答案为12cm．
12．（2020·湖南渌口初一期末）如图，点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，连结CD，交OA于M，交OB于N．
（1）若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
（2）若∠CPD=131°，∠C=21°，∠D=28°，求∠MPN．
【答案】（1）18cm；（2）．
【解析】解：（1）∵点P关于OA，OB的轴对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵=PN+PM+MN，
而CD=CM+MN+ND=18cm，
∴=PN+PM+MN= CM+MN+ND=18cm；
（2）∵点P关于OA、OB轴对称的对称点分别为C、D，
∴∠C=∠CPM=21°，∠D=∠DPN =28°，
∴∠MPN=∠CPD-∠CPM-∠DPN=131°-21°-28°=82°．
考点6：轴对称与图形坐标
典例：（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A的对应点A1的坐标是 ，点B的对应点B1的坐标是 ，点C的对应点C1的坐标是 ；
（3）请直接写出第四象限内以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标___________．
【答案】（1）见解析；（2）（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；（3）（3，-1）
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）A1（-3，3），B1（3，-3），C1（-1，-3），
故答案为：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；
（3）如图，△△，且点在第四象限内，
∴（3，-1）；
故答案为：（3，-1）．
方法或规律点拨
本题主要考查了运用轴对称变换进行作图、坐标确定位置的运用以及全等三角形的性质，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·河南伊川初二期末）点关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3 , 2）B．（-3,2）C．（-3, -2）D．（3, -2）
【答案】D
【解析】解：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点P(3，2)关于x轴的对称点的坐标是(3，-2)，
故选D．
2．（2020·吉林舒兰初二期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，－2）C．（－1，2）D．（－1，－2）
【答案】B
【解析】解：∵点A与点A′关于x轴对称，已知A（1，2），
∴点A′的坐标为（1，-2）．
故选：B．
3．（2020·湖南渌口初二期末）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3
【答案】B
【解析】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，
∴m=-3，n=2．
故选：B．
4．（2020·山东岚山初二期末）如果点（，）关于x轴的对称点在第四象限内，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵点P（，）关于轴的对称点在第四象限内，
∴点P（，）在第一象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
5．（2020·湖南隆回初二期末）已知点A(，2)与点B(4，2)关于轴对称，则=____．
【答案】
【解析】因为A、B两点纵坐标相同，且关于y轴对称，
所以可得出A、B两点横坐标互为相反数，故．
故填：．
6．（2020·北京密云初二期末）在平面直角坐标系中，点P(1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是________；
【答案】（-1，2）
【解析】关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
故Q坐标为（-1，2）.
故答案为：（-1，2）.
7．（2020·河北青龙初二期末）已知点和关于轴对称，则的值为_______．
【答案】
【解析】解：∵点M（a-1，5）和N（2，b-1）关于y轴对称，
∴b-1= 5，
解得：b=6，
2+a-1=0，
解得：a= -1，
则=．
故答案为：．
8．（2020·四川成都初一期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与ABC关于直线y成轴对称的A1B1C1；
（2）求ABC的面积；
（3）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝；
（3）如图所示，点P即为所求．
9．（2020·湖南隆回初二期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标．
【答案】（1）作图见解析，A1(2，3)；（2）作图见解析，A2(-2，-2)．
【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求；
点A1的坐标为（2，3）；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求；
点A2的坐标是（，）；
10．（2020·山东济南初一期末）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母．
（1）作△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于直线l对称；
（2）△A1B1C1的面积是 ．
【答案】（1）见详解；（2）4
【解析】解：（1）如图所示：
（2）△A1B1C1得面积：