2020-2021学年河南省南阳市高三（上）数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高三（上）数学（文）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|2x0)对任意的x1，x2∈R都有fx1+fx2≤43, 若f(x)在[0,π]上的取值范围是[3,23], 则实数ω的取值范围是________.
三、解答题

已知：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．sinA=35，csB=33．
(1)求csA的值；

(2)若a=4，求BC边上的高AD的长．

已知，在三棱锥A−BCD中，AB⊥AC，BD⊥DC，且AB=6，AC=8，BD=DC，cs∠ABD=3210.
(1)求证：平面ABC⊥平面BDC；

(2)若P是三棱锥A−BCD外接球上任一点，求三棱锥P−BCD体积的最大值．

高三年级计划从甲、乙两个班中选择一个班参加学校的知识竞赛，设甲班的成绩为x，乙班的成绩为y，两个班以往6次竞赛的成绩（满分150分）统计如下：

(1)请计算甲、乙两班的平均成绩和方差，从求得数据出发确定派哪个班参加竞赛更合适（方差保留一位小数）；

(2)若|x−y|≤5，则称甲、乙属于“同一阶层”．若从上述6次考试中任取三次，求至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率．
附：方差s2=1nx1−x¯2+x2−x¯2+⋯+xn−x¯2.

已知：椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，P为其上顶点，长轴长为4，∠F1PF2=120∘.
(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上是否存在一点B（B位于第一象限），使得∠BF2F1=90∘+∠BF1F2，若存在，求出点B的坐标，并求△BF1F2的面积．若不存在，请说明理由．

已知函数fx=x−mlnx−1m∈R．
(1)当m=1时，求函数fx在x=2处的切线方程；

(2)若fx的最小值为0，求函数fx的解析式．

在直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P(12，1)，倾斜角α=π6，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=22cs(θ−π4).
(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值.

已知函数fx=|2x+a−2|+|x−2a|．
(1)若f1sinA，
由正弦定理可知B>A，∴ A∈0,π2，
故csA=45．
(2)由asinA=bsinB得， b=asinBsinA=4×6335=2069，
又∵ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=33+4615，
∴ AD=bsinC=2069×33+4615=32+1229．
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ B∈0,π，csB=33，
∴ sinB=1−cs2B=63．
∵ sinA=35，而sinB>sinA，
由正弦定理可知B>A，∴ A∈0,π2，
故csA=45．
(2)由asinA=bsinB得， b=asinBsinA=4×6335=2069，
又∵ sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=33+4615，
∴ AD=bsinC=2069×33+4615=32+1229．
【答案】
(1)证明：取BC的中点O，连结AO，DO，
由题意，易得：BC=10，BD=DC=52，AO=DO=5，
在△ABD中，由cs∠ABD=AB2+BD2−AD22AB⋅BD得，AD=52，
因为AD2=50=AO2+DO2，所以∠AOD=90∘，即DO⊥OA，
又BD=DC，O为BC中点，所以DO⊥BC，
而BC∩AO=O，BC⊂平面ABC，AO⊂平面ABC
所以，DO⊥平面ABC，又DO⊂平面BDC，所以平面ABC⊥平面BDC．
(2)解：由(1)知，OA=OB=OC=OD，
所以点O为三棱锥A−BCD外接球的球心．
同时，BC为球的直径，则过三角形BDC的截面圆为球的大圆，
当且仅当点P是垂直于平面BDC的球的直径端点时，三棱锥P−BCD体积最大，
即三棱锥P−BCD体积的最大值为13S△BDC⋅OP=13S△BDC⋅OA=1253．
【考点】
平面与平面垂直的判定
余弦定理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：取BC的中点O，连结AO，DO，
由题意，易得：BC=10，BD=DC=52，AO=DO=5，
在△ABD中，由cs∠ABD=AB2+BD2−AD22AB⋅BD得，AD=52，
因为AD2=50=AO2+DO2，所以∠AOD=90∘，即DO⊥OA，
又BD=DC，O为BC中点，所以DO⊥BC，
而BC∩AO=O，BC⊂平面ABC，AO⊂平面ABC
所以，DO⊥平面ABC，又DO⊂平面BDC，所以平面ABC⊥平面BDC．
(2)解：由(1)知，OA=OB=OC=OD，
所以点O为三棱锥A−BCD外接球的球心．
同时，BC为球的直径，则过三角形BDC的截面圆为球的大圆，
当且仅当点P是垂直于平面BDC的球的直径端点时，三棱锥P−BCD体积最大，
即三棱锥P−BCD体积的最大值为13S△BDC⋅OP=13S△BDC⋅OA=1253．
【答案】
解：(1)x¯=16×133+145+118+125+132+127=130，
y¯=16×128+139+121+144+127+121=130，
s甲2=16×9+225+144+25+4+9=2083≈69.3，
s乙2=16×4+81+81+196+9+81=2263≈75.3，
由于x¯=y¯，s甲20，解得 x0=455，y0=55，
即B455,55，
故S△BF1F2=12⋅|F1F2|⋅y0=12×23×55=155．
【答案】
解：(1)当m=1时，fx=x−lnx−1，x∈0,+∞，
∴ f′(x)=1−1x，
∴ f′2=12，而f2=1−ln2，
∴ fx在x=2处的切线方程为y=12x−2+1−ln2，即y=12x−ln2．
(2)∵ fx=x−mlnx−1，x∈0,+∞，∴ f′x=1−mx，
当m≤0时，f′x>0，∴ fx在0,+∞为增函数，无最小值；
当m>0时，f′x=0，得x=m，
∴ x∈0,m时，f′x0，fx为增函数．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0．
令φm=m−mlnm−1=0m>0，
则φ′m=1−lnm−1=−lnm，
由φ′m=−lnm=0，得m=1，
易知φm在0,1单调递增，在1,+∞)上单调递减，且φ1=0．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0只有一解m=1．
∴ 函数fx的解析式为fx=x−lnx−1．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当m=1时，fx=x−lnx−1，x∈0,+∞，
∴ f′(x)=1−1x，
∴ f′2=12，而f2=1−ln2，
∴ fx在x=2处的切线方程为y=12x−2+1−ln2，即y=12x−ln2．
(2)∵ fx=x−mlnx−1，x∈0,+∞，∴ f′x=1−mx，
当m≤0时，f′x>0，∴ fx在0,+∞为增函数，无最小值；
当m>0时，f′x=0，得x=m，
∴ x∈0,m时，f′x0，fx为增函数．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0．
令φm=m−mlnm−1=0m>0，
则φ′m=1−lnm−1=−lnm，
由φ′m=−lnm=0，得m=1，
易知φm在0,1单调递增，在1,+∞)上单调递减，且φ1=0．
∴ fxmin=fm=m−mlnm−1=0只有一解m=1．
∴ 函数fx的解析式为fx=x−lnx−1．
【答案】
解：(1)直线l的参数方程为x=12+tcsπ6,y=1+tsinπ6（t为参数），
即x=12+32t,y=1+12t（t为参数），
由ρ=22csθ−π4，得ρ=2csθ+2sinθ，
∴ ρ2=2ρcsθ+2ρsinθ，
∴ x2+y2=2x+2y，
故圆C的直角坐标方程为x−12+y−12=2.
(2)设A，B两点对应的参数为t1和t2，
把x=12+32t，y=1+12t（t为参数），
代入x−12+y−12=2，
化简整理得，t2−32t−74=0，
则t1+t2=32，t1t2=−74，
∴ |PA|+|PB|=|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=312.
【考点】
直线的参数方程
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线与圆相交的性质
【解析】
（1）根据直线经过的点及直线的倾斜角，求出直线的参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，求出圆C的直角坐标方
程；
（2）设A、B两点对应的参数为t1和t2，以直线】的参数方程代入圆的方程，整理可得t2−32t−74=0，由根与系数的关系可得t1+t2与t1t2，根据直线的参数方程中参数的几何意义，计算|PA|+|PB|即可．
【解答】
解：(1)直线l的参数方程为x=12+tcsπ6,y=1+tsinπ6（t为参数），
即x=12+32t,y=1+12t（t为参数），
由ρ=22csθ−π4，得ρ=2csθ+2sinθ，
∴ ρ2=2ρcsθ+2ρsinθ，
∴ x2+y2=2x+2y，
故圆C的直角坐标方程为x−12+y−12=2.
(2)设A，B两点对应的参数为t1和t2，
把x=12+32t，y=1+12t（t为参数），
代入x−12+y−12=2，
化简整理得，t2−32t−74=0，
则t1+t2=32，t1t2=−74，
∴ |PA|+|PB|=|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=312.
【答案】
解：(1)由f1