2020-2021学年河南省南阳市高三（上）1月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高三（上）1月月考数学（理）试卷北师大版，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z=1+i3+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 已知全集U=R，集合A={x|−21时，ft>f1=0，
即t−1t>2lnt(t>1)成立，
所以x1>x2+2成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由题意得，f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′x=1+1x2−2ax=x2−2ax+1x2．
令gx=x2−2ax+1，
方程x2−2ax+1=0的判别式为：
Δ=4a2−4=4a+1a−1.
(ⅰ)当Δ≤0，即−1≤a≤1时，
gx=x2−2ax+1≥0恒成立，
即对任意x∈(0,+∞)，f′x=g(x)x2≥0，
所以f(x)在0,+∞上单调递增．
(ⅱ)当Δ>0，即a1．
①当a0恒成立，
即对任意x∈0,+∞，f′x=g(x)x2>0，
所以fx在0,+∞上单调递增．
②当a>1时，
由x2−2ax+1=0，
解得α=a−a2−1，β=a+a2−1，
所以00，
在(a−a2−1,a+a2−1)上，f′x1时，f(x)在(0,a−a2−1)，a+a2−1,+∞上单调递增；
在(a−a2−1,a+a2−1)上单调递减．
(2)证明：由lnx1−lnx2=1x1+1x2，
得lnx1−lnx2>0，
所以x1>x2>0.
因为lnx1−lnx2=1x1+1x2，
所以lnx1x2=x1+x2x1⋅x2=x1x2+1x1.
令x1x2=t，则t>1，lnt=t+1x1，
所以x1=t+1lnt，x2=t+1tlnt，
所以x1−x2=t2−1tlnt，
所以要证x1>x2+2，只要证t2−1tlnt>2，
即证t−1t>2lnt(t>1)．
由(1)可知，当a=1时，
f(x)=x−1x−2lnx在(0,+∞)上是增函数，
所以，当t>1时，ft>f1=0，
即t−1t>2lnt(t>1)成立，
所以x1>x2+2成立．
【答案】
解：(1)由l的参数方程得l的普通方程为y=−3x，所以l的倾斜角为2π3，
所以直线l的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R)；
由曲线C的参数方程得C的普通方程为x−12+y2=1，
又x=ρcsθ，y=ρsinθ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ．
(2)由|OB|=2，则B的极坐标为2,2π3．
设A(ρ,θ)(−π2≤θ≤π2)，
则S△AOB=12|OA|⋅|OB|sin∠AOB=12×2×2csθsin2π3−θ
=2csθ32csθ+12sinθ=3cs2θ+sinθcsθ
=3×1+cs2θ2+12sin2θ=sin2θ+π3+32．
当sin2θ+π3=1，即θ=π12时，(S△AOB )max=1+32．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的极坐标方程
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由l的参数方程得l的普通方程为y=−3x，所以l的倾斜角为2π3，
所以直线l的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R)；
由曲线C的参数方程得C的普通方程为x−12+y2=1，
又x=ρcsθ，y=ρsinθ，
所以曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ．
(2)由|OB|=2，则B的极坐标为2,2π3．
设A(ρ,θ)(−π2≤θ≤π2)，
则S△AOB=12|OA|⋅|OB|sin∠AOB=12×2×2csθsin2π3−θ
=2csθ32csθ+12sinθ=3cs2θ+sinθcsθ
=3×1+cs2θ2+12sin2θ=sin2θ+π3+32．
当sin2θ+π3=1，即θ=π12时，(S△AOB )max=1+32．
【答案】
(1)证明：因为2ab≤a2+b2（当且仅当a=b时等号成立），
2bc≤b2+c2（当且仅当b=c时等号成立），
2ac≤c2+a2（当且仅当c=a时等号成立），
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)
=3(a2+b2+c2).
由a+b+c=1，
得a2+b2+c2≥13，
当且仅当a=b=c=13时等号成立．
(2)解：设M=max{a+b,b+c,c+a}，
则M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，
则3M≥2a+b+c=2，即M≥23，
当且仅当a+b=b+c=c+a，即a=b=c=13时，等号成立，
所以max{a+b,b+c,c+a}的最小值为23．
【考点】
不等式的证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为2ab≤a2+b2（当且仅当a=b时等号成立），
2bc≤b2+c2（当且仅当b=c时等号成立），
2ac≤c2+a2（当且仅当c=a时等号成立），
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)
=3(a2+b2+c2).
由a+b+c=1，
得a2+b2+c2≥13，
当且仅当a=b=c=13时等号成立．
(2)解：设M=max{a+b,b+c,c+a}，
则M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，
则3M≥2a+b+c=2，即M≥23，
当且仅当a+b=b+c=c+a，即a=b=c=13时，等号成立，
所以max{a+b,b+c,c+a}的最小值为23．优秀
不优秀
合计
男生
女生
合计
P(K2≥K0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优秀
不优秀
合计
男生
15
5
20
女生
5
15
20
合计
20
20
40
优秀
不优秀
合计
男生
15
5
20
女生
5
15
20
合计
20
20
40