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新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：3.1 函数的概念及其表示
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这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：3.1 函数的概念及其表示，共47页。PPT课件主要包含了课前·基础巩固，课堂·题型讲解，高考·命题预测，非空实数集，唯一确定，解析法，图象法，对应关系，答案C，答案AC等内容，欢迎下载使用。
【教材回扣】1．函数的概念(1)A，B是两个____________．(2)对于A中的______一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有____________的数y和它对应．(3) ______的取值范围A叫做函数的定义域．(4)函数值的集合叫做函数的值域．
2．函数的三种常用表示法： _________、 _________、列表法．3．分段函数：在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有不同的_________，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的_________，值域是各段值域的_________.
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．( )2．对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( )3．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )4．函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( )
解析：A中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；B中，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；C中，f(x)与g(x)定义域与对应关系都相同，∴f(x)与g(x)是同一函数；D中，f(x)与g(x)定义域都是R，但对应关系不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．故选C.
解析：∵f(－2)＝(－2＋1)2＝1∴f(f(－2))＝f(1)＝(1＋1)2＝4.
解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a>0时，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.故选A.
类题通法(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．
答案： (2)(0，＋∞)
题型二 求函数的解析式角度 1 |利用待定系数法求解析式[例2] (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，则f(x)的解析式为________．
答案：(1)f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为________．
答案： (2)f(x)＝x2＋1
类题通法待定系数法求函数解析式的技巧若已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解，例如，二次函数可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
巩固训练2：已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________________．
答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1)
(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为________________.
解析：(2)方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.方法二 (配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
答案： (2)f(x)＝x2－4x＋3.
类题通法换元法求函数解析式的技巧主要解决已知复合函数f(g(x))的解析式求解函数f(x)的解析式的问题，先令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)．要注意新元的取值范围．
(2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为________________．
巩固训练4：若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．
解析：对∀x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1 ①所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1 ②由①②解得f(x)＝x＋1.
答案：(1)－5 －6
类题通法在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
类题通法解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解，解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围．
解析：当x－1≥2，即x≥3时，f(x－1)＝(x－1)－2＝x－3，代入得x(x－3)<10，得－2－5，所以－5
[典例1] (1)若函数f(x)的定义域为(－1，2)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x)的定义域为________．
【解析】 (2)∵－1
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x－1)的定义域为________．
【解析】 (3)由f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，得f(x)的定义域为(－1，5)，由－1
二、抽象函数的解析式当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式．具体取什么特殊值，要根据题目特征而定．
[典例2] 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________________．
【解析】 方法一 由已知条件得f(0)＝1，又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，设y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，所以f(x)＝x2＋x＋1.方法二 令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，则f(－y)＝1－y(－y＋1)，将－y用x代换，得f(x)＝x2＋x＋1.
【答案】 f(x)＝x2＋x＋1
【教材回扣】1．函数的概念(1)A，B是两个____________．(2)对于A中的______一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有____________的数y和它对应．(3) ______的取值范围A叫做函数的定义域．(4)函数值的集合叫做函数的值域．
2．函数的三种常用表示法： _________、 _________、列表法．3．分段函数：在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有不同的_________，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的_________，值域是各段值域的_________.
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．( )2．对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( )3．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )4．函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( )
解析：A中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；B中，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；C中，f(x)与g(x)定义域与对应关系都相同，∴f(x)与g(x)是同一函数；D中，f(x)与g(x)定义域都是R，但对应关系不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．故选C.
解析：∵f(－2)＝(－2＋1)2＝1∴f(f(－2))＝f(1)＝(1＋1)2＝4.
解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a>0时，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.故选A.
类题通法(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．
答案： (2)(0，＋∞)
题型二 求函数的解析式角度 1 |利用待定系数法求解析式[例2] (1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，则f(x)的解析式为________．
答案：(1)f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为________．
答案： (2)f(x)＝x2＋1
类题通法待定系数法求函数解析式的技巧若已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解，例如，二次函数可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
巩固训练2：已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________________．
答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1)
(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为________________.
解析：(2)方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.方法二 (配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
答案： (2)f(x)＝x2－4x＋3.
类题通法换元法求函数解析式的技巧主要解决已知复合函数f(g(x))的解析式求解函数f(x)的解析式的问题，先令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)．要注意新元的取值范围．
(2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为________________．
巩固训练4：若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．
解析：对∀x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1 ①所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1 ②由①②解得f(x)＝x＋1.
答案：(1)－5 －6
类题通法在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
类题通法解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解，解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围．
解析：当x－1≥2，即x≥3时，f(x－1)＝(x－1)－2＝x－3，代入得x(x－3)<10，得－2
[典例1] (1)若函数f(x)的定义域为(－1，2)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x)的定义域为________．
【解析】 (2)∵－1
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x－1)的定义域为________．
【解析】 (3)由f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，得f(x)的定义域为(－1，5)，由－1
二、抽象函数的解析式当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式．具体取什么特殊值，要根据题目特征而定．
[典例2] 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________________．
【解析】 方法一 由已知条件得f(0)＝1，又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，设y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，所以f(x)＝x2＋x＋1.方法二 令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，则f(－y)＝1－y(－y＋1)，将－y用x代换，得f(x)＝x2＋x＋1.
【答案】 f(x)＝x2＋x＋1
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