新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：3.3 函数的奇偶性与周期性

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【教材回扣】1．函数的奇偶性(1)概念：
f(－x)＝－f(x)
(2)图象特征：①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．②如果一个函数是偶函数，则它的图象是以______为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于______对称，则这个函数是偶函数．
2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
【题组练透】题组一　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )2．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )3．若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )4．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．
2．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为________．
解析：当x0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)．
3．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是________；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论是________________________．
答案：(1)(1，－2)　(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数
解析：(1)∵f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2∴y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)∴g(x)为奇函数∴f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
解析：(1)选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
(2)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则(　　)A．函数f(g(x))是奇函数B．函数g(f(x))是奇函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
解析： (2)令h(x)＝f(x)·g(x)，由题意知：f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．
巩固训练1：(多选题)下列函数为偶函数的是(　　)A．y＝x2sin x B．y＝x2cs xC．y＝|ln x| D．y＝2|x|
解析：由偶函数的定义可知B、D为偶函数．
角度2|已知函数的奇偶性求参数[例2]　(1)[2019·全国Ⅱ卷]已知f(x)是奇函数，且当x