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新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：4.2.1 利用导数研究函数的单调性
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这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：4.2.1 利用导数研究函数的单调性，共51页。PPT课件主要包含了课前·基础巩固，课堂·题型讲解，高考·命题预测，f′x0，f′x＝0，答案D，答案B，答案A，答案－4等内容，欢迎下载使用。
【教材回扣】1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系(1)若_________，则f(x)在这个区间上单调递增．(2)若_________，则f(x)在这个区间上单调递减．(3)若_________，则f(x)在这个区间内是常数．2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )2．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增．( )3．在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )
题组二 教材改编1．函数f(x)＝sin x－x，在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减 B．先减后增C．增函数 D．减函数
解析：∵f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)，∴f′(x)＝cs x－1<0，∴函数f(x)在(0，π)上单调递减．故选D.
3．(一题两空)函数f(x)＝x3－x2－x的单调增区间为____________，单调减区间为________．
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分：(－∞，0)，(0，x1)，(x1，＋∞)．第一部分导数小于零，第二部分导数大于零，第三部分导数小于零．则相应的，第一部分原函数为减函数，第二部分原函数为增函数，第三部分原函数为减函数．故选D.
解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1，4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
答案：(－∞，0) (0，1)
类题通法确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
巩固训练1：(1)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2.故选D.
(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cs x，则f(x)的单调递增区间是________________．
类题通法在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：(1)按导函数是否有零点分大类；(2)再按导函数零点的大小分小类；(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．
巩固训练2：已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．
题型三 函数单调性的应用 高频考点角度1|函数图象的识别[例3] 函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且第二个拐点在y轴的右侧，排除B.故选D.
类题通法由导函数图象可判断原函数的单调性，进而能够确定函数图象的变化趋势．审题时注意看清已知条件函数是导函数还是原函数．
巩固训练3：设函数y＝f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析：由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数应为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．
类题通法根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
巩固训练5：若f(x)＝2x3－3x2－12x＋3在区间[m，m＋4]上是单调函数，则实数m的取值范围是________．
[预测2] 新题型——一题两空已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)．(1)实数k的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
状 元 笔 记 构造法在导数中的应用不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法．
(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．
类型二、xf ′(x)±nf(x)型[典例2] (1)设函数f(x)在R上的导函数为f ′(x)，且2f(x)＋xf ′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)e2 019f(0)B．e2 019f(－2 019)f(0)，f(2 019)>e2 019f(0)D．e2 019f(－2 019)>f(0)，f(2 019)
【教材回扣】1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系(1)若_________，则f(x)在这个区间上单调递增．(2)若_________，则f(x)在这个区间上单调递减．(3)若_________，则f(x)在这个区间内是常数．2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )2．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增．( )3．在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )
题组二 教材改编1．函数f(x)＝sin x－x，在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减 B．先减后增C．增函数 D．减函数
解析：∵f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)，∴f′(x)＝cs x－1<0，∴函数f(x)在(0，π)上单调递减．故选D.
3．(一题两空)函数f(x)＝x3－x2－x的单调增区间为____________，单调减区间为________．
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
解析：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分：(－∞，0)，(0，x1)，(x1，＋∞)．第一部分导数小于零，第二部分导数大于零，第三部分导数小于零．则相应的，第一部分原函数为减函数，第二部分原函数为增函数，第三部分原函数为减函数．故选D.
解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1，4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
答案：(－∞，0) (0，1)
类题通法确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
巩固训练1：(1)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2.故选D.
(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cs x，则f(x)的单调递增区间是________________．
类题通法在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：(1)按导函数是否有零点分大类；(2)再按导函数零点的大小分小类；(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．
巩固训练2：已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．
题型三 函数单调性的应用 高频考点角度1|函数图象的识别[例3] 函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且第二个拐点在y轴的右侧，排除B.故选D.
类题通法由导函数图象可判断原函数的单调性，进而能够确定函数图象的变化趋势．审题时注意看清已知条件函数是导函数还是原函数．
巩固训练3：设函数y＝f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析：由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数应为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．
类题通法根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
巩固训练5：若f(x)＝2x3－3x2－12x＋3在区间[m，m＋4]上是单调函数，则实数m的取值范围是________．
[预测2] 新题型——一题两空已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)．(1)实数k的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
状 元 笔 记 构造法在导数中的应用不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法．
(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．
类型二、xf ′(x)±nf(x)型[典例2] (1)设函数f(x)在R上的导函数为f ′(x)，且2f(x)＋xf ′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)
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