新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：专题突破二 数列中的综合问题

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【教材回扣】1．等差数列和等比数列的综合等差数列与等比数列相结合的综合问题主要是应用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，建立关于两个基本量，即首项a1和公差d或公比q的方程组，以及解决等差中项、等比中项等问题．2．数列和函数数列是特殊的函数，等差数列的通项公式和前n项和公式分别是关于n的一次函数和二次函数，等比数列的通项公式和前n项和公式在公比不等于1的情况下是公比q的指数型函数，可以根据函数的性质解决一些数列问题．
3．数列和不等式以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题，体现了在知识交汇点上命题的特点．这类问题一般通过数列求通项以及求和去解决一个不等式问题，这里的不等式通常是关于正整数的不等式，可以通过比较法、基本不等式法、导数方法和数学归纳法解决．
题组三　易错自纠1．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
解析：由题意知Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn.则Sn＋a1qn＋Sn＋(a1＋a1q)qn＝2Sn，即a1qn(q＋2)＝0.∵a1q≠0，∴q＝－2.
2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
题型一　等差、等比数列的综合[例1]　[2021·山东泰安模拟]在①a5＝b4＋2b6，②a3＋a5＝4(b1＋b4)，③b2S4＝5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，{bn}是等差数列．已知a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，a4＝b3＋b5，________.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，求Tn.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
类题通法解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量．解综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件．
巩固训练1：已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．(1)求q3；(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．
类题通法数列与函数的综合一般体现在两个方面 (1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
类题通法数列不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数学的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的量值．(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．
巩固训练3：在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1n>1，求m的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
状 元 笔 记数列中的创新应用一、信息技术中的数列[典例1]　有一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为Tn，则T4＝________．
【答案】　2n－1　10
类题通法信息技术中的数列问题实质上是数列知识在信息技术中的应用问题，解答的关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型．求解时，要明确目标，即搞清楚是求和、求通项公式，还是解递推关系问题，最终得出结论．
二、数列中的数阵问题[典例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，将该数列按如图所示的格式(第n行有2n－1个数)排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右第8个数为(　　)a1a2　a3a4　a5　a6　a7a8　a9　a10　a11　a12　a13　a14　a15……A．142 B．270C．526 D．1 038
类题通法从数列到数阵，尽管数的排列形式发生了变化，但问题的实质仍然是数列问题，只要抓住每行首项，找准每行变化规律，从数阵中构造新数列(等差数列或等比数列或周期数列等)，那么解决问题的思想和方法仍然不变，可谓“形散神不散”．
三、新定义中的数列问题[典例3]　在数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“ 数列”．已知数列{bn}为“ 数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 021项和为(　　)A．1 B．－1C．－2 D．－3
【解析】　由题意知bn＋1＝bn＋bn＋2，即bn＋2＝bn＋1－bn.∵b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，b4＝b3－b2＝－3－(－2)＝－1，b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1，b8＝b7－b6＝1－3＝－2，…如此循环，得数列为周期数列，周期为6，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，∵2 021＝6×336＋5，∴S2 021＝S5＝－3.
类题通法解决新定义中的数列问题的一般流程 (1)读懂定义，理解新定义数列的含义； (2)特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…的情况进行讨论； (3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案；(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解．