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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：2.4 幂函数及三类不等式的解法（绝对值、高次、无理）
展开这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：2.4 幂函数及三类不等式的解法（绝对值、高次、无理），共57页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，yxα，自变量，0+∞，单调递增，-aa，常用结论，考点自诊等内容，欢迎下载使用。
案例探究(三) f(x)=ax+ (ab≠0)型函数的性质及应用
1.幂函数(1)幂函数的定义:一般地,函数 叫做幂函数,其中x是 ,α是 . (2)五种幂函数的图象
(3)五种幂函数的性质
{x|x∈R,且x≠0}
{y|y∈R,且y≠0}
当x∈[0,+∞)时,单调递增;当x∈(-∞,0)时,单调递减
当x∈(0,+∞)时,单调递减;当x∈(-∞,0)时,单调递减
2.分式不等式的解法
3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
(2)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.(3)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(4)|f(x)|
4.无理不等式的解法
5.一元高次不等式的解法(标根穿线法)(1)化x的最高次系数为正;(2)在数轴上标出方程的根;(3)从数轴上方穿针,奇穿偶回;(4)写出解集.
1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论(1)恒过点(1,1);(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)幂函数y=xα,当α>0时,在第一象限内,函数单调递增.( )(3)幂函数y=xα,当α<0时,在第一象限内,函数单调递减.( )(4)有些幂函数的图象经过第四象限.( )(5)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.a
4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)<0的解集为 .
答案 (-∞,1)∪(2,3) 解析 方程(x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3,标根穿线如图所示.故解集为(-∞,1)∪(2,3).
答案 (1)C (2)B
解题心得1.幂函数y=xα的特点:①系数必须为1,②指数必须为常数.2.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.
答案 (1)B (2)C
【例2】 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )(2)已知幂函数 (n∈Z)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则n的值为( )A.-3B.1C.2D.1或2
解题心得探讨幂函数图象的分布规律,应先观察图象是否过原点,过原点时α>0,否则α≤0;若α>0,再观察第一象限的图象是上凸还是下凸,上凸时0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应的是( )
(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点(a, )在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数
答案 (1)B (2)A
解题心得1.幂函数的主要性质(1)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;(2)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.
答案 (1)(3,5) (2)A
【例4】 解下列不等式:(1)|x2+x|≤3x;(2)|x-1|+|x+2|<5;(3)|2x-1|-|x-2|<0.
(方法2)观察到若要使得不等式|x2+x|≤3x成立,则3x≥0,即x≥0,进而|x2+x|内部恒为正数,绝对值直接去掉,即只需解x2+x≤3x即可.解得0≤x≤2,∴不等式的解集为[0,2].
(2)令两个绝对值分别为零解得x=1,x=-2,①当x>1时,不等式变为x-1+x+2<5,解得x<2,∴1
对点训练4(1)不等式|3x-4|>x2的解集为( )A.(-4,1)B.(-1,4)C.(-4,-1)∪(1,4)D.(-∞,-4)∪(1,+∞)(2)不等式|x+3|>|2-x|的解集是 . (3)设x∈R,不等式|x|+|2x-1|>2的解集为 .
解析 (1)由|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4
解 (1)①检查各因式中x的符号均正;②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根);③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始,如图),④∴原不等式的解集为{x|-1
对点训练5解不等式x(x-1)2(2-x)(x+1)≤0.
解 原不等式可化为x(x-1)2(x-2)(x+1)≥0,标根穿线,如图:∴原不等式的解集为[-1,0]∪{1}∪[2,+∞)
解题心得无理不等式的等价转化,即由无理不等式转化为等价的有理不等式求通解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.
案例探究(三) f(x)=ax+ (ab≠0)型函数的性质及应用
(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R.(2)奇函数.(3)函数在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,无最值.
(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R.(2)奇函数.(3)函数在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,无最值.
(5)图象:对勾函数就是以y轴和直线y=ax为渐近线的双曲线.
(6)渐近线:y轴和直线y=ax.
跟踪训练1已知函数f(x)=2x,且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2ag(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.
【例2】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?
跟踪训练2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)求当隔热层建造为多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
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