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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：2.5 指数与指数函数
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：2.5 指数与指数函数，共52页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，ar+s，ars，arbr，常用结论，考点自诊，答案A，答案B等内容，欢迎下载使用。
素养提升微专题3—数形结合思想解指数不等式
2.实数指数幂(1)分数指数幂的表示③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质①aras= (a>0,r,s∈Q). ②(ar)s= (a>0,r,s∈Q). ③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
(3)无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个 的实数.整数指数幂的运算性质也适用于于实数指数幂.
3.指数函数的图象和性质
2.y=ax(a>0,且a≠1)的图象特征:如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是00,且a≠1时,函数y=ax与函数y=( )x的图象关于y轴对称.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( )(5)若am>an,则m>n.( )
A.m>n>0B.0>m>nC.n>m>0D.0>n>m
3.(2020广东广州模拟,4)已知函数f(x)=( )x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为( )A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4)
4.(2020天津卷,6)设a=30.7, ,c=lg0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a
【例1】A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y
解题心得 指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
对点训练1化简下列各式:
考向1 指数函数型图象的判别【例2】 (2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数 ,则f(x)的图象大致为( )
答案 A 解析 函数的定义域为{x|x≠0},故排除B,由函数的解析式易得f(x)=-f(-x),则函数为奇函数,故排除C,D,故选A.
解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, ).2.已知函数解析式判断其图象一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合一些特殊点,判断所给的图象是否符合,若不符合则排除.
对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
答案 A 解析 由题知f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,故排除B,D,又e|x|≥1,则f(x)≤0,故排除C,故选A.
考向2 指数函数图象的应用【例3】 (1)若函数y=|3x-1|的图象与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是 . (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
答案 (1)(0,1) (2)[-1,1]
解析 (1)如图,函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线.如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.由图象可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1≤b≤1.故b的取值范围是[-1,1].
解题心得1.对于有关指数型函数图象的应用问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知01,b<0B.a>1,b>0C.00D.00,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
解析 (1)因为00,所以b<0.故选D.
(3)①当0
变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是 .
答案 (0,+∞) 解析 作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m的取值范围是(0,+∞).
变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是 .
答案(-∞,-1] 解析 作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.由图象知m≤-1,即m∈(-∞,-1].
考向1 指数函数单调性的应用【例4】 (1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a
答案 (1)B (2)C
解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.
对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a
答案 (1){x|x>3,或x<-1} (2)C
解题心得解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性:(1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x);(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0
A.(-1,1) B.(-2,2)C.(-3,3) D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是 .
解题心得指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
【例1】 若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)答案D
【例2】 已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案D
解析因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象.如图,两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
素养提升微专题3—数形结合思想解指数不等式
2.实数指数幂(1)分数指数幂的表示③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的运算性质①aras= (a>0,r,s∈Q). ②(ar)s= (a>0,r,s∈Q). ③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
(3)无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个 的实数.整数指数幂的运算性质也适用于于实数指数幂.
3.指数函数的图象和性质
2.y=ax(a>0,且a≠1)的图象特征:如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( )(5)若am>an,则m>n.( )
A.m>n>0B.0>m>nC.n>m>0D.0>n>m
3.(2020广东广州模拟,4)已知函数f(x)=( )x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为( )A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4)
4.(2020天津卷,6)设a=30.7, ,c=lg0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a
【例1】A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y
解题心得 指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
对点训练1化简下列各式:
考向1 指数函数型图象的判别【例2】 (2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数 ,则f(x)的图象大致为( )
答案 A 解析 函数的定义域为{x|x≠0},故排除B,由函数的解析式易得f(x)=-f(-x),则函数为奇函数,故排除C,D,故选A.
解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, ).2.已知函数解析式判断其图象一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合一些特殊点,判断所给的图象是否符合,若不符合则排除.
对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
答案 A 解析 由题知f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,故排除B,D,又e|x|≥1,则f(x)≤0,故排除C,故选A.
考向2 指数函数图象的应用【例3】 (1)若函数y=|3x-1|的图象与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是 . (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
答案 (1)(0,1) (2)[-1,1]
解析 (1)如图,函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线.如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.由图象可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1≤b≤1.故b的取值范围是[-1,1].
解题心得1.对于有关指数型函数图象的应用问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0
解析 (1)因为0
(3)①当0
变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是 .
答案 (0,+∞) 解析 作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m的取值范围是(0,+∞).
变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是 .
答案(-∞,-1] 解析 作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.由图象知m≤-1,即m∈(-∞,-1].
考向1 指数函数单调性的应用【例4】 (1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a
答案 (1)B (2)C
解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.
对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a
答案 (1){x|x>3,或x<-1} (2)C
解题心得解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性:(1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x);(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0
A.(-1,1) B.(-2,2)C.(-3,3) D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是 .
解题心得指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
【例1】 若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)答案D
【例2】 已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案D
解析因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1,在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象.如图,两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
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