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所属成套资源：新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件
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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：6.2 等差数列
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：6.2 等差数列，共44页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，第2项，同一个常数，等差中项，a1+n-1d，常用结论，考点自诊，答案B等内容，欢迎下载使用。
核心素养微专题6 例说数列中的逻辑推理
1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d (n∈ N* ),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的 . (3)等差数列{an} 的通项公式:an= ,可推广为an=am+(n-m)d. (4)等差数列的前n项和公式:
2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.(1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈ N*).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈ N*).(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈ N*).(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈ N* ,都有2an+1=an+an+2.( )(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34
3.(多选)(2020山东威海高三一模)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时,Sn<0
答案 ABC 解析因为S10=S20,所以a11+a12+…+a19+a20=5(a15+a16)=0.又因为a1>0,所以a15>0,a16<0,所以d<0,Sn≤S15,故A,B,C正确;S31= =31a16<0,故D错误.故选ABC.
4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则 = .
5.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
答案 0 -10 解析 在等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.
答案 (1)A (2)C
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
对点训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=( )A.9B.10C.11D.15(2)(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 .
答案 (1)B (2)16
(2)∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.
(1)证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
变式发散(1)本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.(2)将本例条件“an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= ”变为“Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2”,问题不变,试求解.
(2)①证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,
对点训练2(2017全国1,文17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
考向1 等差数列项的性质及应用【例3】 (1)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前9项的和S9等于( )A.66B.99C.144 D.297
答案 (1)B (2)BC 解析 (1)由等差数列的性质得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,
(2)由题意可得,因为数列{an}是等差数列,所以设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,
对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=( )A.60B.56C.12D.4
答案 A 解析 ∵在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,∴(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.
考向2 等差数列前n项和的性质【例4】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27
答案 (1)B (2)8 076 解析 (1)由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),所以S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
答案 -n2+10n
考向3 等差数列前n项和的最值【例5】 (2020陕西汉中高三教学质量检测)设等差数列{an}满足a3=-9,a10=5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最小的n的值.
解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=An2+Bn(A,B为常数),通过配方或借助图象求最值.(2)邻项变号法:
对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S6S8,则( )A.在数列{an}中,a1最大B.在数列{an}中,a3或a4最大C.S3=S10D.当n≥8时,an<0(2)在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )A.S15B.S16 C.S15或S16D.S17
答案 (1)AD (2)A 解析 (1)由于S6S8,所以S7-S6=a7>0,S8-S7=a8<0,所以数列{an}是递减数列,最大项为a1,故A正确,B错误,D正确;S10-S3=a4+a5+…+a10=7a7>0,故C错误.
核心素养微专题6 例说数列中的逻辑推理
1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d (n∈ N* ),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的 . (3)等差数列{an} 的通项公式:an= ,可推广为an=am+(n-m)d. (4)等差数列的前n项和公式:
2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.(1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈ N*).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈ N*).(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈ N*).(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈ N* ,都有2an+1=an+an+2.( )(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34
3.(多选)(2020山东威海高三一模)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时,Sn<0
答案 ABC 解析因为S10=S20,所以a11+a12+…+a19+a20=5(a15+a16)=0.又因为a1>0,所以a15>0,a16<0,所以d<0,Sn≤S15,故A,B,C正确;S31= =31a16<0,故D错误.故选ABC.
4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则 = .
5.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
答案 0 -10 解析 在等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.
答案 (1)A (2)C
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
对点训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=( )A.9B.10C.11D.15(2)(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 .
答案 (1)B (2)16
(2)∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.
(1)证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
变式发散(1)本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.(2)将本例条件“an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= ”变为“Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2”,问题不变,试求解.
(2)①证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,
对点训练2(2017全国1,文17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
考向1 等差数列项的性质及应用【例3】 (1)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前9项的和S9等于( )A.66B.99C.144 D.297
答案 (1)B (2)BC 解析 (1)由等差数列的性质得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,
(2)由题意可得,因为数列{an}是等差数列,所以设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,
对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=( )A.60B.56C.12D.4
答案 A 解析 ∵在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,∴(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.
考向2 等差数列前n项和的性质【例4】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27
答案 (1)B (2)8 076 解析 (1)由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),所以S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
答案 -n2+10n
考向3 等差数列前n项和的最值【例5】 (2020陕西汉中高三教学质量检测)设等差数列{an}满足a3=-9,a10=5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最小的n的值.
解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=An2+Bn(A,B为常数),通过配方或借助图象求最值.(2)邻项变号法:
对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S6
答案 (1)AD (2)A 解析 (1)由于S6
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